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<!DOCTYPE html>

<title>Spielkreisel</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Spielkreisel</h1>

</header>

</div>

Der Spielkreisel<a href="#cite_note-1">[1]</a> ist in der <a href="Kreiseltheorie" title="Kreiseltheorie">Kreiseltheorie</a> ein <a href="Kreisel" title="Kreisel">Kreisel</a>, der im <a href="Schwerefeld" title="Schwerefeld">Schwerefeld</a> der Erde in keinem Punkt festgehalten auf einem ebenen, waagerechten Untergrund und diesen nur in einem Punkt berührend tanzt, siehe Bild. Von besonderer Bedeutung sind die dargestellten <a href="Symmetrischer_Kreisel" title="Symmetrischer Kreisel">symmetrischen Kreisel</a>, bei denen der <a href="Massenmittelpunkt" title="Massenmittelpunkt">Massenmittelpunkt</a> auf der <a href="Figurenachse" title="Figurenachse">Figurenachse</a> liegt.

Solche Kreisel können Drehungen um die vertikale Figurenachse und <a href="Regul%C3%A4re_Pr%C3%A4zession" title="Reguläre Präzession">reguläre Präzessionen</a> relativ lange ausführen, sofern sie stabil sind. Zwischen den stabilen Lagen streben Kreisel eine von ihnen in einem instationären Ablauf an<a href="#cite_note-rauch352-2">[2]</a>. Beim schnellen <a href="Stehaufkreisel" title="Stehaufkreisel">Stehaufkreisel</a> ist die hängende lotrechte Position instabil, die aufrechte stabil und eine reguläre Präzession dazwischen nicht möglich. Deshalb richtet sich dieser Kreisel auf. Die treibende Kraft ist dabei die <a href="Reibung" title="Reibung">Reibung</a> am Aufstandspunkt. Die Beschreibung der Bewegungen, Existenz und Stabilität deren Sonderformen, sowie die sie beeinflussenden Reibeffekte sind Gegenstand der Theorie des Spielkreisels.

Über die teils unerwarteten Bewegungen von Spielkreiseln gibt es viele, vor allem mathematische Abhandlungen, die zum größten Teil kaum technische Bedeutung beanspruchen können<a href="#cite_note-3">[3]</a>. Das dem Spielkreisel entgegengebrachte Interesse erfolgt nicht zuletzt

„des eigentümlichen Reizes wegen, den er auf unseren Erkenntnistrieb ausübt.“

</blockquote>

</div><div class="cite" style="margin:-1em 0 1em 1em;">– <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261921330">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .Person{font-variant:small-caps}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a href="Richard_Grammel" title="Richard Grammel">Richard Grammel</a> (1920): <cite style="font-style:normal"><a href="#cite_note-grammel111-4">[4]</a></cite></div></div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte">Geschichte</h2></div>

Die wissenschaftliche Behandlung von Kreiseln begann mit <a href="Johann_Andreas_von_Segner" title="Johann Andreas von Segner">J. A. Segner</a> (1704 – 1777), der auch schon die Bedeutung der <a href="Reibung" title="Reibung">Reibung</a> für das Aufrichten der Kreiselachse richtig erkannte<a href="#cite_note-5">[5]</a>. <a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Leonhard Euler</a> veröffentlichte 1750 seine <a href="Eulersche_Gleichungen_(Kreiseltheorie)" title="Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)">Kreiselgleichungen</a><a href="#cite_note-6">[6]</a> und konnte auch schon Lösungen für den kräftefreien <a href="Euler-Kreisel" title="Euler-Kreisel">Euler-Kreisel</a> angeben. <a href="Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Joseph-Louis Lagrange</a> leistete 1788 einen wichtigen Beitrag durch Lösung der Gleichungen für den, dem Spielkreisel nahe verwandten, <a href="Lagrange-Kreisel" title="Lagrange-Kreisel">schweren symmetrischen Kreisel mit Stützpunkt</a><a href="#cite_note-7">[7]</a>. Weitere Sonderfälle der eigentümlichen Bewegungen auf einer Ebene rollender Körper sind von <a href="Jean-Baptiste_le_Rond_d%E2%80%99Alembert" title="Jean-Baptiste le Rond d’Alembert">Jean-Baptiste le Rond d’Alembert</a> (1761), Leonhard Euler (1765) und <a href="Sim%C3%A9on_Denis_Poisson" title="Siméon Denis Poisson">Siméon Denis Poisson</a> (1811) untersucht worden<a href="#cite_note-magnus266-8">[8]</a>.

Die ersten bekannten Versuche, das Aufstehen des <a href="Wendekreisel" class="mw-redirect" title="Wendekreisel">Wendekreisels</a> zu erklären, stammen von W. Thompson und Blackburn aus dem 19. Jahrhundert, in dem auch <a href="John_Hewitt_Jellett" title="John Hewitt Jellett">J. H. Jellett</a> (1872)<a href="#cite_note-jellett-9">[9]</a> das <a href="#Jelletts_Integral">nach ihm benannte Integral</a> entdeckte. Dass es die <a href="Reibungskraft" class="mw-redirect" title="Reibungskraft">Reibungskraft</a> im Aufstandspunkt ist, die den Stehaufkreisel sich aufrichten lässt, erkannten C. M. Braams, N. M. Hugenholtz und W. M. Plisken Anfang der 1950er-Jahre. R. J. Cohen formulierte 1977 das heute akzeptierte Modell des Stehaufkreisels und konnte <a href="Numerische_Mathematik" title="Numerische Mathematik">numerisch</a> das Aufstehen des Kreisels simulieren. Zwischen 1994 und 2005 wurde die Kinetik des Spielkreisels weiter aufgeklärt<a href="#cite_note-10">[10]</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beschreibung">Beschreibung</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Realisierungen_und_mechanisches_Modell">Realisierungen und mechanisches Modell</h3></div>

Spielkreisel kommen in vielen Formen vor. Eine für gewöhnlich glatte Oberfläche und <a href="Rotationssymmetrie" class="mw-redirect" title="Rotationssymmetrie">Rotationssymmetrie</a> wie in <a href="#Snap_Top_and_Trompo.jpg">Abb. 1</a> ist nicht nur ästhetisch ansprechend und leicht herzustellen, sondern hält auch den <a href="Luftwiderstand" class="mw-redirect" title="Luftwiderstand">Luftwiderstand</a> gering. Harte und glatte Materialien für Kreisel und Untergrund sorgen für geringe bohrende, <a href="Rollreibung" class="mw-redirect" title="Rollreibung">Roll-</a> und <a href="Gleitreibung" class="mw-redirect" title="Gleitreibung">Gleitreibung</a>.

Je stumpfer die untere Kreiselspitze ist, desto leichter richtet sich der Kreisel auf. Diese Wirkung kehrt sich bei sehr spitzem unterem Kreiselende leicht um, sodass dieselbe Ursache den Kreisel absenkt, siehe <a href="#SpielkreiselSpitze.png">Abb. 4</a>. Je spitzer der Kreisel im Aufstandspunkt ist, desto weniger bremst die dort auftretende Reibung, sodass der Kreisel länger tanzt. Die tatsächliche Ausformung bildet einen Kompromiss zwischen diesen widerstreitenden Aspekten.

Der <a href="Wendekreisel" class="mw-redirect" title="Wendekreisel">Wendekreisel</a> soll sich aus „hängender“ Position, wo der <a href="Massenmittelpunkt" title="Massenmittelpunkt">Massenmittelpunkt</a> unter dem <a href="Kr%C3%BCmmungskreis" title="Krümmungskreis">Krümmungskreis</a> der unteren Kreiselspitze liegt (3/6a in Abb. 3), in aufrechte Lage wenden, wo der Massenmittelpunkt über dem Krümmungszentrum ist (3/6b in Abb. 3). Übliche Ausführungen besitzen einen Stift, auf den sich der Kreisel stellt. Beim Aufrichten passiert er einen kritischen Punkt, wo Stift und kugelförmiger Teil des Kreisels gleichzeitig die Unterlage berühren.

Die inhomogene Kugel mit exzentrischem Massenmittelpunkt wie in Abb. 2<a href="#cite_note-Rauch-11">[11]</a> ist ein probates Modell eines Kreisels, der keinen kritischen Punkt besitzt. Das Krümmungszentrum der Kreiselspitze ist dann der geometrische Mittelpunkt der Kugel. Beim hängenden Kreisel ist der Massenmittelpunkt unterhalb des geometrischen Mittelpunkts und beim aufrechten Kreisel oberhalb.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Einteilung_nach_Stabilitätseigenschaften">Einteilung nach Stabilitätseigenschaften</h3></div>

Die Stabilität der Spielkreisel mit lotrechter Figurenachse kann mit der Methode der kleinen Schwingungen von <a href="Edward_Routh" title="Edward Routh">E. Routh</a><a href="#cite_note-12">[12]</a> untersucht und das Ergebnis graphisch in einem Stabilitätsdiagramm dargestellt werden, siehe Abb. 3<a href="#cite_note-13">[13]</a>. Auf der <a href="Abszisse" class="mw-redirect" title="Abszisse">Abszisse</a> ist das Verhältnis des axialen <a href="Haupttr%C3%A4gheitsmoment" class="mw-redirect" title="Hauptträgheitsmoment">Hauptträgheitsmoments</a> C zu den äquatorialen Hauptträgheitsmomenten A aufgetragen. Dieses Verhältnis liegt bei einem realen <a href="Symmetrischer_Kreisel#Hauptträgheitsmomente" title="Symmetrischer Kreisel">symmetrischen Kreisel</a> im Bereich 0 < C/A < 2. Auf der <a href="Ordinate" class="mw-redirect" title="Ordinate">Ordinate</a> ist das Verhältnis der Höhe h = |GR| des Massenmittelpunkts G über seinem <a href="Fu%C3%9Fpunkt" title="Fußpunkt">Fußpunkt</a> R auf der Unterlage und dem Krümmungsradius ρ = |ZT| der unteren Kreiselspitze im Aufstandspunkt abgetragen, siehe <a href="#Realisierungen_und_mechanisches_Modell">Abb. 2</a>. Beim aufrecht stehenden Kreisel ist h/ρ > 1, denn mit dem Abstand s = |GZ| zwischen Massenmittelpunkt und Krümmungszentrum ist bei senkrechter Figurenachse h/ρ = (ρ + s)/ρ = 1 + α mit dimensionslosem

Beim lotrecht hängenden Kreisel ist der Massenmittelpunkt unterhalb des Krümmungszentrums, h/ρ = (ρ - s)/ρ = 1 - α, und entsprechend h/ρ < 1. Das Diagramm wird durch die Gerade h/ρ = 1 und die <a href="Hyperbel_(Mathematik)" title="Hyperbel (Mathematik)">Hyperbel</a>

in vier unterschiedlich gefärbte Bereiche geteilt.<a href="#cite_note-14">[14]</a>

<dd>In diesem Bereich (<a href="Pink_(Farbe)" title="Pink (Farbe)">pink</a>) ist 1 < h/ρ ≤ A/C = γ, sind beim schnellen Kreisel reguläre Präzessionen nur mit Neigungswinkeln ϑ, die <a href="Sinus_und_Cosinus" class="mw-redirect" title="Sinus und Cosinus">cos</a>(ϑ) < <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\gamma -1}}}">

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</semantics>

<dd>In diesem Bereich (olivgrün) ist γ = A/C ≤ h/ρ < 1, sind beim schnellen Kreisel reguläre Präzessionen im Bereich cos(ϑ) ><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\gamma -1}}}">

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e34a4fef6932c2988e502f80d94fe38f2949465.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:3.829ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\gamma -1}}}" loading="lazy"> zwar möglich aber instabil, und die Drehungen um Vertikalachsen sind stets stabil. Dieser Fall wird manchmal indifferent genannt, denn der schnelle Kreisel kann je nach Wunsch so beschleunigt werden, dass er die aufrechte oder die hängende lotrechte Position anstrebt.</dd>

<dd>In den verbleibenden Bereichen (blaugrau und orange) ist eine reguläre Präzession beim schnellen Kreisel ausgeschlossen, der lotrecht hängende Kreisel nur bei langsamer und der aufrechte nur bei schneller Drehung stabil. Wendekreisel haben dieses Format.</dd></dl>

Die Geometrien 3a/b und 6a/b aus dem Bereich (c) sind dem Stehaufkreisel nachempfunden. Wird der Kreisel in lotrecht hängender Lage 3/6a in rasche Drehung versetzt, richtet sich der Kreisel auf, weil seine Stellung instabil ist. Die aufrechten Positionen 3/6b sind beim schnellen Kreisel hingegen stabil. Sofern der Schwung ausreicht, der Kreisel über den kritischen Moment, wo der kugelförmige Teil und der Stift die Unterlage gleichzeitig berühren, hinweg kommt, wird er die aufrechte Stellung erreichen. Der Kreisel 6a kann den kritischen Moment nicht überwinden<a href="#cite_note-15">[15]</a> und ist daher als Stehaufkreisel ungeeignet. Der langsamer werdende Kreisel 3b verlässt die aufrechte Position, sobald diese instabil wird, und strebt die nun stabile hängende Lage 3a an.

Beim nicht so schnellen Kreisel ist die <a href="#Stabilität_der_stationären_Bewegungen">#Stabilität der stationären Bewegungen</a> nicht nur von α und γ, sondern auch vom Schwung, ausgedrückt durch <a href="#Jelletts_Integral">#Jelletts Integral</a> J (die Projektion des Drehimpulses auf die Achse vom Massenmittelpunkt G zum Aufstandspunkt T in <a href="#Realisierungen_und_mechanisches_Modell">Abb. 2</a>), und über den Kreisel eigenen Parameter Jβ = ρ√(Csmg) von seiner <a href="Gewichtskraft" title="Gewichtskraft">Gewichtskraft</a> mg abhängig. Die Existenz und Stabilität von stationären Bewegungen wird somit nur von den drei Eigenschaften α, γ und Jβ des Kreisels sowie einer Anfangsbedingung J festgelegt.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vergleich_mit_dem_Lagrange-Kreisel">Vergleich mit dem Lagrange-Kreisel</h3></div>

Der Spielkreisel weist viele Parallelen zum <a href="Lagrange-Kreisel" title="Lagrange-Kreisel">Lagrange-Kreisel</a> auf. Unterschiede ergeben sich daraus, dass sich der Lagrange-Kreisel um den fixierten Aufstandspunkt, der Spielkreisel jedoch um den freien <a href="Massenmittelpunkt" title="Massenmittelpunkt">Massenmittelpunkt</a> dreht. Beim Spielkreisel sind die <a href="Tr%C3%A4gheitsmoment" title="Trägheitsmoment">Trägheitsmomente</a> bezüglich des Massenmittelpunkts maßgeblich, die kleiner sind als bei einem baugleichen Lagrange-Kreisel.

Der Spielkreisel ist in lotrecht stehender Lage schon bei kleinerer Drehgeschwindigkeit stabil und ändert seine Neigung unter Einfluss der Reibung deutlich schneller als ein vergleichbarer Lagrange-Kreisel<a href="#cite_note-grammel113-16">[16]</a>. Der Spielkreisel kann wie der Lagrange-Kreisel eine <a href="Regul%C3%A4re_Pr%C3%A4zession" title="Reguläre Präzession">reguläre Präzession</a> mit den ihr eigenen Merkmalen ausführen. Auch <a href="Pseudoregul%C3%A4re_Pr%C3%A4zession" title="Pseudoreguläre Präzession">pseudoreguläre Präzessionen</a> sind möglich, wenn der Kreisel sich schnell dreht und der Drehimpuls nahe der Figurenachse ausgerichtet ist. Die pseudoregulären Präzessionen sind bei beiden Kreiseln gleich schnell. Allerdings vollziehen beim Spielkreisel sowohl der Massenmittelpunkt als auch der Aufstandspunkt feine Schwankungen, weswegen von einem Nutationskegel nicht mehr die Rede sein kann<a href="#cite_note-grammel113-16">[16]</a>. Die Umlaufbahn der unteren Kreiselspitze um die Drehimpulsachse hat beim geneigten Kreisel auch eine vertikale Komponente, mit der sich der Kreisel vom Untergrund abstößt. Bei ausreichendem Schwung kann der Kreisel dabei abheben und auf den Untergrund klopfen.<a href="#cite_note-rauch339-17">[17]</a>

Für den reibungsfreien Spielkreisel gilt wie beim Lagrange-Kreisel der Satz von <a href="Gaston_Darboux" title="Gaston Darboux">Gaston Darboux</a> über <a href="Lagrange-Kreisel#Homologe_Kreisel" title="Lagrange-Kreisel">homologe Kreisel</a><a href="#cite_note-grammel116-18">[18]</a>. Bei beiden Kreiseln sind der <a href="Drehimpuls" title="Drehimpuls">Drehimpuls</a> Lz in vertikaler und L3 in axialer Richtung sowie die im Parameter k enthaltene <a href="Gesamtenergie" title="Gesamtenergie">Gesamtenergie</a> konstant. Die Kreiselfunktion lautet beim Spielkreisel, solange er die Unterlage berührt, mit den Bezeichnungen beim Lagrange-Kreisel:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {u}}^{2}=U(u)={\frac {(k-L_{3}^{2}-2Ac_{0}u)(1-u^{2})-(L_{z}-L_{3}u)^{2}}{A^{2}{\color {blue}\left(1+{\frac {ms^{2}}{A}}(1-u^{2})\right)}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43eb3a666abe319b1e485f4440cc278168112b63.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:55.265ex; height:8.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {u}}^{2}=U(u)={\frac {(k-L_{3}^{2}-2Ac_{0}u)(1-u^{2})-(L_{z}-L_{3}u)^{2}}{A^{2}{\color {blue}\left(1+{\frac {ms^{2}}{A}}(1-u^{2})\right)}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Kreiselfunktion des Lagrange-Kreisels (schwarz) bekommt beim Spielkreisel einen zusätzlichen Divisor (blau). Die drei Eulerʹschen Drehwinkel lassen sich mit dieser Kreiselfunktion mit denselben Integralen wie beim Lagrange-Kreisel ausdrücken. Zur graphischen Darstellung der Bewegung wird beim Spielkreisel seine untere Spitze benutzt, deren <a href="Bahnlinie" title="Bahnlinie">Bahnlinie</a> in jeder Hinsicht den <a href="Lagrange-Kreisel#LagrangeTopHanging" title="Lagrange-Kreisel">Locuskurven des Lagrange-Kreisels</a> entspricht<a href="#cite_note-grammel116-18">[18]</a>. Die analytisch ermittelten Kreiselbewegungen weichen allerdings aufgrund der <a href="Reibung" title="Reibung">Reibung</a> im Aufstandspunkt wesentlich von den realen ab.<a href="#cite_note-grammel116-18">[18]</a>

<td>Herleitung der Kreiselfunktion

</td></tr>

<tr>

<th>Kinematik

</th></tr>

<tr>

<td>Im reibungsfreien Fall hat eine kugelig ausgeformte untere Kreiselspitze keinen Einfluss und kann und soll hier eine ideal spitze Form angenommen werden. Der Massenmittelpunkt liegt im Abstand s vom Aufstandspunkt auf der Figurenachse, die die Neigung ϑ gegenüber der nach oben weisenden Senkrechten hat. Der Massenmittelpunkt befindet sich in der Höhe

über dem Untergrund, eine kinematische Annahme, die den Kreisel an den Untergrund bindet. Darin ist u = <a href="Sinus_und_Cosinus" class="mw-redirect" title="Sinus und Cosinus">cos</a>(ϑ). Die <a href="Zeitableitung" title="Zeitableitung">Zeitableitung</a> davon liefert mit sin²(ϑ) = 1 - u²:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {u}}=-\sin(\vartheta ){\dot {\vartheta }}\quad \rightarrow \quad {\dot {\vartheta }}^{2}={\frac {{\dot {u}}^{2}}{1-u^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fbde801a3d7498ef36cfe0ee25d83aeb2ad5b536.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:35.22ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {u}}=-\sin(\vartheta ){\dot {\vartheta }}\quad \rightarrow \quad {\dot {\vartheta }}^{2}={\frac {{\dot {u}}^{2}}{1-u^{2}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die <a href="Beschleunigung" title="Beschleunigung">Beschleunigung</a> des Massenmittelpunkts ist die zweite Zeitableitung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {z}}=s{\ddot {u}}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {z}}=s{\ddot {u}}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35f19071c4d2ec854c7992030dfc8f98ffeebb26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.815ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {z}}=s{\ddot {u}}}" loading="lazy">.

</td></tr>

<tr>

<th>Impulssatz

</th></tr>

<tr>

<td>Nach dem <a href="Newtonsche_Axiome#Zweites_newtonsches_Gesetz" class="mw-redirect" title="Newtonsche Axiome">Impulssatz</a> ergibt sich in Lotrichtung

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N-mg=m{\ddot {z}}=ms{\ddot {u}}\rightarrow \;N=mg+ms{\ddot {u}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61baf15dccbc89dd872624f3994a400c6953a2af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:41.933ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle N-mg=m{\ddot {z}}=ms{\ddot {u}}\rightarrow \;N=mg+ms{\ddot {u}}}" loading="lazy"></dd></dl>

wo N die im Aufstandspunkt senkrecht nach oben wirkende <a href="Normalkraft" title="Normalkraft">Normalkraft</a>, m die Masse, g die <a href="Schwerebeschleunigung" class="mw-redirect" title="Schwerebeschleunigung">Schwerebeschleunigung</a> und daher mg die <a href="Gewichtskraft" title="Gewichtskraft">Gewichtskraft</a> ist. Der Kreisel hebt nicht ab, solange N > 0 ist, und bei N < 0 würde der Untergrund den Kreisel unrealistisch nach unten ziehen. Eine durch Zeitintegration gefundene Lösung verliert bei N < 0 ihre Gültigkeit und muss darauf hin überprüft werden.

</td></tr>

<tr>

<th>Zerlegung des Drehimpulses

</th></tr>

<tr>

<td>Bei allen <a href="Symmetrischer_Kreisel" title="Symmetrischer Kreisel">symmetrischen Kreiseln</a> gilt mit dem äquatorialen Hauptträgheitsmoment A und dem axialen C die Darstellung

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {1}{A}}{\vec {L}}+\left({\frac {1}{C}}-{\frac {1}{A}}\right)L_{3}\,{\hat {e}}_{3}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b34f47aa23c3010aa429dd0187bb59d335e7d750.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:28.747ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {1}{A}}{\vec {L}}+\left({\frac {1}{C}}-{\frac {1}{A}}\right)L_{3}\,{\hat {e}}_{3}}" loading="lazy"></dd></dl>

der <a href="Winkelgeschwindigkeit" title="Winkelgeschwindigkeit">Winkelgeschwindigkeit</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\omega }}}">

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</mover>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4e066a68ceb355e3314fb2b97f1c0c421ca6074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}}" loading="lazy"> durch den <a href="Drehimpuls" title="Drehimpuls">Drehimpuls</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {L}}}">

<mover>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0c139fc28d6ca3873993892f44e7331e5ff18fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}}" loading="lazy"> und seiner Komponente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L_{3}:={\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{3}}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{3}:={\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90c819d107aeef0133edb8175f42a59d9f2f3865.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.99ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle L_{3}:={\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{3}}" loading="lazy"> in axialer Richtung ê3. Die Knotenachse

stellt die Drehrichtung des Neigungswinkels ϑ der Figurenachse, woraus sich der Drehimpuls LN in Knotenrichtung ergibt:

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\vartheta }}={\vec {\omega }}\cdot {\hat {e}}_{N}={\frac {1}{A}}{\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{N}\;\rightarrow \;L_{N}:={\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{N}=A{\dot {\vartheta }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/602d43d342654ddf39fbc0cf7e19d808413b7983.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:47.063ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\vartheta }}={\vec {\omega }}\cdot {\hat {e}}_{N}={\frac {1}{A}}{\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{N}\;\rightarrow \;L_{N}:={\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{N}=A{\dot {\vartheta }}}" loading="lazy"></dd></dl>

In der Präzessionsebene, die senkrecht zur Knotenachse ist und von der Senkrechten êz und der Figurenachse ê3 aufgespannt wird, setzt sich der vertikale Drehimpuls gemäß

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L_{z}=L_{3}\cos(\vartheta )+L_{A}\sin(\vartheta )=L_{3}u+L_{A}{\sqrt {1-u^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6490b3387ff1c08861eb85d6f2757feb7b2f4ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:48.979ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle L_{z}=L_{3}\cos(\vartheta )+L_{A}\sin(\vartheta )=L_{3}u+L_{A}{\sqrt {1-u^{2}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

aus dem axialen Drehimpuls L3 und einem dazu senkrechten, äquatorialen LA zusammen.

</td></tr>

<tr>

<th>Drallsatz

</th></tr>

<tr>

<td>Mit dem <a href="Drehmoment" title="Drehmoment">Drehmoment</a> MN = s sin(ϑ) N, das die Stützkraft N im horizontalen Abstand s sin(ϑ) vom Massenmittelpunkt ausübt, entsteht aus dem <a href="Drallsatz" title="Drallsatz">Drallsatz</a> um den Massenmittelpunkt

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\qquad {\vec {M}}=&M_{N}\,{\hat {e}}_{N}=s\sin(\vartheta )N\,{\hat {e}}_{N}={\dot {\vec {L}}}\\\rightarrow {\vec {L}}\cdot {\dot {\vec {L}}}=&{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\vec {L}}\cdot {\vec {L}})=s\sin(\vartheta )NL_{N}=s\sin(\vartheta )(mg+ms{\ddot {u}})(A{\dot {\vartheta }})\\=&-A(mgs+ms^{2}{\ddot {u}}){\dot {u}}=-A{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(mgs\,u+{\frac {m}{2}}(s{\dot {u}})^{2}\right)\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50ac670776f767d510f146cf010ff8342b60755f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.005ex; width:66.487ex; height:15.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\qquad {\vec {M}}=&M_{N}\,{\hat {e}}_{N}=s\sin(\vartheta )N\,{\hat {e}}_{N}={\dot {\vec {L}}}\\\rightarrow {\vec {L}}\cdot {\dot {\vec {L}}}=&{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\vec {L}}\cdot {\vec {L}})=s\sin(\vartheta )NL_{N}=s\sin(\vartheta )(mg+ms{\ddot {u}})(A{\dot {\vartheta }})\\=&-A(mgs+ms^{2}{\ddot {u}}){\dot {u}}=-A{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(mgs\,u+{\frac {m}{2}}(s{\dot {u}})^{2}\right)\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und nach einer Zeitintegration

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}\cdot {\vec {L}}=k-2A\left({\frac {m}{2}}(s{\dot {u}})^{2}+c_{0}u\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f04498de9c3ae030f465dd5df4dac5616e587dae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:32.454ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}\cdot {\vec {L}}=k-2A\left({\frac {m}{2}}(s{\dot {u}})^{2}+c_{0}u\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

wo c0 = mgs und k eine <a href="Integrationskonstante" class="mw-redirect" title="Integrationskonstante">Integrationskonstante</a> ist. Beim abgehobenen Kreisel tritt kein Moment auf und der Drehimpuls ist konstant, was an dieser Stelle nicht berücksichtigt wird, siehe Impulssatz oben. Mit den vorliegenden Drehimpulskomponenten ergibt sich andererseits

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}\cdot {\vec {L}}=L_{N}^{2}+L_{A}^{2}+L_{3}^{2}=(A{\dot {\vartheta }})^{2}+{\frac {(L_{z}-L_{3}u)^{2}}{1-u^{2}}}+L_{3}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb011b2b2d7ec4fbf6dbf0890749e4a1bcc8eaa3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:53.159ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}\cdot {\vec {L}}=L_{N}^{2}+L_{A}^{2}+L_{3}^{2}=(A{\dot {\vartheta }})^{2}+{\frac {(L_{z}-L_{3}u)^{2}}{1-u^{2}}}+L_{3}^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

Kombination beider Gleichungen für das Drehimpulsquadrat führt mit den kinematischen Zusammenhängen auf die im Text stehende Kreiselfunktion.

Die Konstante <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k=2AE+\left(1-{\tfrac {A}{C}}\right)L_{3}^{2}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k=2AE+\left(1-{\tfrac {A}{C}}\right)L_{3}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1242768f65394e01f29e648b2339380598ba836c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:23.719ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle k=2AE+\left(1-{\tfrac {A}{C}}\right)L_{3}^{2}}" loading="lazy"> erscheint auch beim Lagrange-Kreisel, allerdings sind dort die <a href="Tr%C3%A4gheitsmoment" title="Trägheitsmoment">Trägheitsmomente</a> und Drehimpulse bezüglich des Aufstandspunkts maßgeblich und die zur <a href="Gesamtenergie" title="Gesamtenergie">Gesamtenergie</a> E beitragende <a href="Kinetische_Energie" title="Kinetische Energie">kinetische Energie</a> bekommt beim Spielkreisel auch einen translatorischen Anteil, siehe <a href="#Gesamtenergie_des_Spielkreisels">#Gesamtenergie des Spielkreisels</a>.

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Reibungsbehafteter_Spielkreisel">Reibungsbehafteter Spielkreisel</h2></div>

Das Aufrichten des <a href="Wendekreisel" class="mw-redirect" title="Wendekreisel">Wendekreisels</a> sogar aus hängender Lage basiert auf Reibeffekten, die also für wesentliche Bewegungsformen des Spielkreisels verantwortlich sind. Bei ausschließlicher Gleitreibung, was in der Kreiseltheorie vorausgesetzt wird, gibt es mit <a href="#Jelletts_Integral">#Jelletts Integral</a> eine <a href="Erhaltungsgr%C3%B6%C3%9Fe" class="mw-redirect" title="Erhaltungsgröße">Erhaltungsgröße</a>, die durch die <a href="Anfangsbedingung" title="Anfangsbedingung">Anfangsbedingungen</a> festgelegt ist. An ihnen lässt sich ablesen, wie sich der Kreisel in Zukunft verhalten wird<a href="#cite_note-rauch352-2">[2]</a>. Der Kreisel kann die lotrechten Positionen hängend oder aufrecht drehend und die <a href="Regul%C3%A4re_Pr%C3%A4zession" title="Reguläre Präzession">reguläre Präzession</a> dauerhaft einnehmen. Dazwischen ist die Bewegung <a href="Instationarit%C3%A4t" title="Instationarität">instationär</a> und der Kreisel nähert sich einer stabilen dieser beständigen Drehungen an und verharrt in ihrer Nähe. Allerdings werden stationäre Bewegungen, sofern sie nicht von Anfang an eingestellt werden, wegen der Geschwindigkeitsabhängigkeit der Reibkraft nur <a href="Asymptote" title="Asymptote">asymptotisch</a> erreicht.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Geschwindigkeitsabhängigkeit_der_Reibkraft">Geschwindigkeitsabhängigkeit der Reibkraft</h3></div>

Die untere Kreiselspitze bewegt sich auf dem Untergrund im Allgemeinen mit beachtlichem <a href="Schlupf" title="Schlupf">Schlupf</a>. Die dabei auftretende <a href="Gleitreibung" class="mw-redirect" title="Gleitreibung">Gleitreibung</a> erzeugt eine <a href="Reibungskraft" class="mw-redirect" title="Reibungskraft">Reibkraft</a> R, die der Geschwindigkeit v des aufstehenden Kreiselpunkts entgegengerichtet ist. Die Reibkraft ist proportional zur <a href="Normalkraft" title="Normalkraft">Normalkraft</a> N und zum <a href="Gleitreibungskoeffizient" class="mw-redirect" title="Gleitreibungskoeffizient">Gleitreibungskoeffizient</a> μ, der im Wesentlichen vom <a href="Chemischer_Stoff" class="mw-redirect" title="Chemischer Stoff">Stoff</a> und der <a href="Rauhigkeit" class="mw-redirect" title="Rauhigkeit">Rauhigkeit</a> der unteren Kreiselspitze sowie des Untergrunds bestimmt wird. Beim Coulombʹschen Reibgesetz ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R=\mu N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R=\mu N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/681138b61b73d45f9e931d3b612624016b1f28ea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.328ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle R=\mu N}" loading="lazy">. Beim Spielkreisel überlagert sich durch die Präzession um die Vertikale eine bohrende Reibung, wodurch sich das Reibgesetz wesentlich verändert:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R=\mu Nv}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/04ca65f3896cc1f4bb920e6176bd5b72edf9763c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.455ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle R=\mu Nv}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Reibkraft wird proportional zur Gleitgeschwindigkeit v. Dieses <a href="Viskosit%C3%A4t" title="Viskosität">viskose</a> Reibgesetz wird im Alltag bei einer <a href="Bohnermaschine" title="Bohnermaschine">Bohnermaschine</a> erfahrbar, die mit rotierenden Bürsten arbeitet. Ausgeschaltet ist die Maschine wegen Coulombʹscher Reibung schwerer zu verschieben als bei viskoser Reibung an rotierenden Bürsten<a href="#cite_note-19">[19]</a>.

Der qualitative Einfluss der Reibung ist in der Theorie vom Reibgesetz unabhängig, solange die Reibkraft als Funktion der Geschwindigkeit v an der Stelle v = 0 stetig ist und verschwindet.<a href="#cite_note-rauch337-20">[20]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Einfluss_der_Reibung">Einfluss der Reibung</h3></div>

Ohne <a href="Reibung" title="Reibung">Reibung</a> kann sich der Kreisel aus folgenden Gründen nicht aufstellen. Im reibungsfreien Fall hat eine Translation des Massenmittelpunkts keinen Einfluss und kann vernachlässigt werden. Der Massenmittelpunkt bewegt sich nur entlang der Senkrechten und die <a href="Gesamtenergie" title="Gesamtenergie">Gesamtenergie</a>, bestehend aus <a href="Lageenergie" class="mw-redirect" title="Lageenergie">Lageenergie</a> und <a href="Kinetische_Energie" title="Kinetische Energie">kinetischer Energie</a>, ist konstant. In <a href="Lotrecht" class="mw-redirect" title="Lotrecht">lotrechter</a> Position ist die kinetische Energie gleich der <a href="Rotationsenergie" title="Rotationsenergie">Rotationsenergie</a>, die zwischen der hängenden und der aufrechten Lage abnimmt, da der Kreisel Lageenergie gewinnt. Die Rotationsenergie ist in vertikaler Position proportional zum Quadrat des vertikalen Drehimpulses, der demnach beim Aufrichten abnehmen muss. Nach dem <a href="Drallsatz" title="Drallsatz">Drallsatz</a> bedarf es dazu eines senkrechten Drehmoments, das nur von einer horizontalen Kraft aufgebracht werden kann, und da hier die Reibung die einzige, denkbare, horizontal wirkende Kraft ist, ist sie für das Aufrichten unentbehrlich.<a href="#cite_note-21">[21]</a>

Der dissipative Charakter der Reibung tritt beim sich verlangsamenden Kreisel immer deutlicher hervor:

<ol><li>Bei einer pseudoregulären Präzession erlöschen die Erzitterungen der Figurenachse mit der Zeit.</li>

<li>Je nach Anfangsbedingung und Reibsituation an der unteren Kreiselspitze senkt sich der Kreisel ab oder richtet sich auf und strebt eine stabile stationäre Bewegung in lotrecht stehender oder hängender Position oder in Form einer stabilen <a href="Regul%C3%A4re_Pr%C3%A4zession" title="Reguläre Präzession">regulären Präzession</a> dazwischen an.</li>

<li>In einer solchen Gleichgewichtslage wirken nur noch die bohrende, <a href="Rollreibung" class="mw-redirect" title="Rollreibung">Roll-</a> und <a href="Luftreibung" class="mw-redirect" title="Luftreibung">Luftreibung</a>. Fallen diese gering aus, was für gewöhnlich zutrifft und in der Theorie hier voraus gesetzt wird, verharrt der Kreisel relativ lange im eingenommenen Zustand.</li>

<li>Es ist aber nur eine Frage der Zeit, bis sich der langsamer werdende Kreisel absenkt und schließlich lotrecht hängt oder auf dem Weg dorthin auf die Unterlage stößt.</li>

<li>Zuletzt nimmt der Kreisel eine Ruhelage ein.</li></ol>

Nur bei gleitungslosem Abrollen oder Rotation mit senkrechter stillstehender Figurenachse wirkt keine Reibkraft und kann der Kreisel theoretisch dauerhaft tanzen, siehe <a href="#Dissipation_der_Energie_durch_Reibung">#Dissipation der Energie durch Reibung</a>. Wenn der Kreisel jedoch gleitet, dann erweckt das eine <a href="Reibungskraft" class="mw-redirect" title="Reibungskraft">Reibungskraft</a>, die der Gleitgeschwindigkeit entgegengesetzt ist, die sich aus der Eigendrehung um die Figurenachse und der <a href="Pr%C3%A4zession" title="Präzession">Präzession</a> derselben um die Vertikale ergibt.

Die Reibkraft wirkt in der Stützebene in doppelter Weise. Erstens beschleunigt sie nach dem Gesetz „<a href="Newtonsche_Axiome#Zweites_newtonsches_Gesetz" class="mw-redirect" title="Newtonsche Axiome">Kraft gleich Masse mal Beschleunigung</a>“ den Massenmittelpunkt auch senkrecht zur Figurenachse, die durch das <a href="Drehmoment" title="Drehmoment">Drehmoment</a> der Gewichtskraft bereits um die Vertikale präzediert. So wird der Massenmittelpunkt im Grundriss momentan in eine Kreisbahn geleitet, siehe Abb. 4<a href="#cite_note-22">[22]</a>.

Außerdem erweckt die Reibungskraft ein Reibmoment, dessen Komponente in der Präzessionsebene senkrecht zur Figurenachse den Kreisel aufrichtet oder absenkt<a href="#cite_note-23">[23]</a>. Zu diesem Moment trägt nur der Anteil der Reibkraft bei, der senkrecht zur Figurenachse ist und der wesentlich von der Umfangsgeschwindigkeit vt des untersten Kreiselpunkts T geprägt wird.

Abb. 4 zeigt den Grundriss der Bewegung dreier Kreisel mit unterschiedlichen Krümmungsradien der unteren Kreiselspitze. Wird ansonsten nichts verändert, verringert sich mit den Radien vor allem die <a href="Umfangsgeschwindigkeit" class="mw-redirect" title="Umfangsgeschwindigkeit">Umfangsgeschwindigkeit</a> vt des aufstehenden Punkts T. Die Schwerkraft getriebene Präzessionsgeschwindigkeit und deren Beitrag vP zur resultierenden Geschwindigkeit v von T bleiben nahezu unberührt. Die Reibkraft R ist der resultierenden Geschwindigkeit v entgegengesetzt, die in Abb. 4a und c umgekehrt orientiert ist und in 4b null ist. In Abb. 4a richtet das Reibmoment den Kreisel auf und in Abb. 4c wird der Kreisel von ihm abgesenkt.<a href="#cite_note-24">[24]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Lagrange-Funktion_des_Spielkreisels">Lagrange-Funktion des Spielkreisels</h3></div>

Die <a href="Lagrange-Funktion" class="mw-redirect" title="Lagrange-Funktion">Lagrange-Funktion</a> des Spielkreisels lautet<a href="#cite_note-Ciocci&Langerock-25">[25]</a>:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}=&{\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})+{\frac {1}{2}}[ms^{2}\sin ^{2}(\vartheta )+A]{\dot {\vartheta }}^{2}+{\frac {A}{2}}\sin ^{2}(\vartheta ){\dot {\psi }}^{2}\\&+{\frac {C}{2}}[{\dot {\varphi }}+{\dot {\psi }}\cos(\vartheta )]^{2}-mg[\rho +s\cos(\vartheta )]\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1952d4f4d7ee5f9976a7767302a8ffaa5863abc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.588ex; margin-bottom: -0.25ex; width:57.522ex; height:10.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}=&{\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})+{\frac {1}{2}}[ms^{2}\sin ^{2}(\vartheta )+A]{\dot {\vartheta }}^{2}+{\frac {A}{2}}\sin ^{2}(\vartheta ){\dot {\psi }}^{2}\\&+{\frac {C}{2}}[{\dot {\varphi }}+{\dot {\psi }}\cos(\vartheta )]^{2}-mg[\rho +s\cos(\vartheta )]\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin bedeutet

<ul><li>m die Masse des Kreisels,</li>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {x}},{\dot {y}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/58f7d70a3dccabd2553acfab7eb18eab0e23d090.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.666ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\dot {x}},{\dot {y}}}" loading="lazy"> die Geschwindigkeiten des Massenmittelpunkts in der horizontalen <a href="Xy-Ebene" class="mw-redirect" title="Xy-Ebene">xy-Ebene</a>,</li>

<li>s der Abstand des Massenmittelpunkts vom Krümmungszentrum der kugelförmigen unteren Kreiselspitze,</li>

<li>ρ der Krümmungsradius dieser Kreiselspitze,</li>

<li>{ψ, ϑ, φ} die <a href="Kreiseltheorie#Bezugssysteme_und_Euler-Winkel" title="Kreiseltheorie">Euler-Winkel</a>, und</li>

<li>A, C sind das äquatoriale bzw. das axiale <a href="Haupttr%C3%A4gheitsmoment" class="mw-redirect" title="Hauptträgheitsmoment">Hauptträgheitsmoment</a> des Kreisels um seinen Massenmittelpunkt.</li></ul>

Die <a href="Lagrange-Gleichung" class="mw-redirect" title="Lagrange-Gleichung">Lagrange-Gleichungen</a>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=Q_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e186dbf16741232315267de0eeb77538c7f7350a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:23.675ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=Q_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

ergeben sich mit den generalisierten Koordinaten q1,…,5 = x, y, ψ, ϑ, φ und der generalisierten Kraft

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{5}Q_{i}\,\mathrm {d} q_{i}={\vec {R}}\cdot ({\hat {e}}_{x}\,\mathrm {d} x+{\hat {e}}_{y}\,\mathrm {d} y)+({\vec {a}}\times {\vec {R}})\cdot (\,{\hat {e}}_{z}\,\mathrm {d} \psi +{\hat {e}}_{N}\,\mathrm {d} \vartheta +{\hat {e}}_{3}\,\mathrm {d} \varphi )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ddaf1c22fea6ce18c1d68c25464c7c5471f1c39.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:73.782ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{5}Q_{i}\,\mathrm {d} q_{i}={\vec {R}}\cdot ({\hat {e}}_{x}\,\mathrm {d} x+{\hat {e}}_{y}\,\mathrm {d} y)+({\vec {a}}\times {\vec {R}})\cdot (\,{\hat {e}}_{z}\,\mathrm {d} \psi +{\hat {e}}_{N}\,\mathrm {d} \vartheta +{\hat {e}}_{3}\,\mathrm {d} \varphi )}" loading="lazy"></dd></dl>

Wie bei <a href="#Jelletts_Integral">#Jelletts Integral</a> weist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/546e6615827e17295718741fd0b86f639a947f16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}}" loading="lazy"> vom Massenmittelpunkt zum Aufstandspunkt und sin(ϑ) êN = êz × ê3 in Knotenrichtung. Die Reibkraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {R}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {R}}}</annotation>

</semantics>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bewegungsgleichungen">Bewegungsgleichungen</h3></div>

Die <a href="Bewegungsgleichung" title="Bewegungsgleichung">Bewegungsgleichungen</a> des Spielkreisels ergeben sich aus dem Impulssatz „<a href="Newtonsche_Axiome#Zweites_newtonsches_Gesetz" class="mw-redirect" title="Newtonsche Axiome">Kraft gleich Impulsänderung</a>“, dem <a href="Drallsatz" title="Drallsatz">Drallsatz</a> „Moment gleich Drehimpulsänderung“ und der <a href="Kinematik" title="Kinematik">Kinematik</a>:<a href="#cite_note-26">[26]</a>

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</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}m{\ddot {\vec {G}}}=&(N_{z}-mg)\,{\hat {e}}_{z}+{\vec {R}}\\{\dot {\vec {L}}}=&(-s\,{\hat {e}}_{3}-\rho \,{\hat {e}}_{z})\times (N_{z}\,{\hat {e}}_{z}+{\vec {R}})\\{\dot {\hat {e}}}_{3}=&{\frac {1}{A}}{\vec {L}}\times {\hat {e}}_{3}\\0\leq &w,N_{z},\;wN_{z}=0\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/17a80d3f5e93fd8fe9e40c9220360e66b609d342.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.671ex; width:36.038ex; height:16.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}m{\ddot {\vec {G}}}=&(N_{z}-mg)\,{\hat {e}}_{z}+{\vec {R}}\\{\dot {\vec {L}}}=&(-s\,{\hat {e}}_{3}-\rho \,{\hat {e}}_{z})\times (N_{z}\,{\hat {e}}_{z}+{\vec {R}})\\{\dot {\hat {e}}}_{3}=&{\frac {1}{A}}{\vec {L}}\times {\hat {e}}_{3}\\0\leq &w,N_{z},\;wN_{z}=0\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin bedeuten

<ul><li>m die Masse,</li>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {G}}}</annotation>

</semantics>

<li>Nz ≥ 0 die nur bei Kontakt im Aufstandspunkt vorhandene, nie negative, der <a href="Gewichtskraft" title="Gewichtskraft">Gewichtskraft</a> entgegen gerichtete <a href="Normalkraft" title="Normalkraft">Normalkraft</a>,</li>

<li>g die <a href="Schwerebeschleunigung" class="mw-redirect" title="Schwerebeschleunigung">Schwerebeschleunigung</a>,</li>

<li>êz die zur ebenen Unterlage antiparallel zur Gewichtskraft nach oben weisende z-Richtung,</li>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {R}}}</annotation>

</semantics>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}}</annotation>

</semantics>

<li>s der axiale Abstand des Massenmittelpunkts vom Krümmungszentrum (GZ in <a href="#Realisierungen_und_mechanisches_Modell">Abb. 2</a>),</li>

<li>ê3 der axiale Vektor parallel zur Figurenachse (von Z nach G in <a href="#Realisierungen_und_mechanisches_Modell">Abb. 2</a>),</li>

<li>ρ der Krümmungsradius der halbkugelförmigen unteren Kreiselspitze (ZT in <a href="#Realisierungen_und_mechanisches_Modell">Abb. 2</a>),</li>

<li>A das äquatoriale <a href="Haupttr%C3%A4gheitsmoment" class="mw-redirect" title="Hauptträgheitsmoment">Hauptträgheitsmoment</a>,</li>

<mover>

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</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle w:=({\vec {G}}-s\,{\hat {e}}_{3}-\rho \,{\hat {e}}_{z})\cdot {\hat {e}}_{z}\geq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1a903ac02ba7f8afb77bf379b11433ed99e2e49f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:30.665ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle w:=({\vec {G}}-s\,{\hat {e}}_{3}-\rho \,{\hat {e}}_{z})\cdot {\hat {e}}_{z}\geq 0}" loading="lazy"> die nie negative Höhe des untersten Kreiselpunkts T über der Unterlage,</li>

<li>der <a href="%C3%9Cberpunkt#Als_wissenschaftliches_Symbol" title="Überpunkt">Überpunkt</a> die <a href="Zeitableitung" title="Zeitableitung">Zeitableitung</a>, „×“ das <a href="Kreuzprodukt" title="Kreuzprodukt">Kreuzprodukt</a> und „·“ das <a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukt</a>.</li></ul>

Die Bewegungsgleichungen sind ein System <a href="Autonome_Differentialgleichung" title="Autonome Differentialgleichung">autonomer Differentialgleichungen</a> in neun Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {G}},\,{\vec {L}},\,{\hat {e}}_{3}}">

<mover>

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</mover>

</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {G}},\,{\vec {L}},\,{\hat {e}}_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b6e2535ca73a38cf9579305ba09903998d809061.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.597ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {G}},\,{\vec {L}},\,{\hat {e}}_{3}}" loading="lazy"> mit einer <a href="Nebenbedingung" title="Nebenbedingung">Nebenbedingung</a>.

In der dritten Bewegungsgleichung wurde der Zusammenhang zwischen <a href="Symmetrischer_Kreisel#Winkelgeschwindigkeit_und_Drehimpuls" title="Symmetrischer Kreisel">Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls beim symmetrischen Kreisel</a> ausgenutzt<a href="#cite_note-27">[27]</a>:

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</mtable>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\quad {\vec {\omega }}=&{\frac {1}{A}}{\vec {L}}+{\frac {A-C}{AC}}L_{3}\,{\hat {e}}_{3}\\\rightarrow \;{\dot {\hat {e}}}_{3}=&{\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{3}={\frac {1}{A}}{\vec {L}}\times {\hat {e}}_{3}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8c5686da49ccbc95fb31a66a86ebe2290b35b6e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.684ex; margin-bottom: -0.32ex; width:28.723ex; height:11.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\quad {\vec {\omega }}=&{\frac {1}{A}}{\vec {L}}+{\frac {A-C}{AC}}L_{3}\,{\hat {e}}_{3}\\\rightarrow \;{\dot {\hat {e}}}_{3}=&{\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{3}={\frac {1}{A}}{\vec {L}}\times {\hat {e}}_{3}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin ist L3 der axiale Drehimpuls und C das axiale Hauptträgheitsmoment.

Die letzte der Bewegungsgleichungen verbindet wie eine <a href="Komplementarit%C3%A4tsbedingung" title="Komplementaritätsbedingung">Komplementaritätsbedingung</a> die nie negative Höhe w des untersten Kreiselpunkts über der Unterlage mit der, nur bei Kontakt auftretenden, senkrechten Kraftkomponente Nz. Sie ergibt sich aus der Konsistenzbedingung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\ddot {w}}=0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\ddot {w}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc45ec0f5a6c4c3744cfd43fea4a11264a0f5c9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.925ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\ddot {w}}=0}" loading="lazy"> zu<a href="#cite_note-28">[28]</a>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{z}={\frac {mA\left\{g+{\frac {s}{A^{2}}}{\big [}L_{3}L_{z}-({\vec {L}}\cdot {\vec {L}})u{\big ]}\right\}}{A+ms^{2}(1-u^{2})-ms(su+\rho )\,{\hat {e}}_{3}\cdot {\vec {R}}_{1}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cbb4d7aeb2dfafaa4bfad44a2475938c8628ceb8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:45.24ex; height:8.843ex;" alt="{\displaystyle N_{z}={\frac {mA\left\{g+{\frac {s}{A^{2}}}{\big [}L_{3}L_{z}-({\vec {L}}\cdot {\vec {L}})u{\big ]}\right\}}{A+ms^{2}(1-u^{2})-ms(su+\rho )\,{\hat {e}}_{3}\cdot {\vec {R}}_{1}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin wurden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u={\hat {e}}_{3}\cdot {\hat {e}}_{z}=\cos(\vartheta ),\,L_{3}={\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{3},\,L_{z}={\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{z}}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u={\hat {e}}_{3}\cdot {\hat {e}}_{z}=\cos(\vartheta ),\,L_{3}={\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{3},\,L_{z}={\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6a03e0b19d9f46b7d83093195a2f886665c63af.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:45.563ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle u={\hat {e}}_{3}\cdot {\hat {e}}_{z}=\cos(\vartheta ),\,L_{3}={\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{3},\,L_{z}={\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{z}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {R}}_{1}={\tfrac {1}{N_{z}}}{\vec {R}}}">

<msub>

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</mstyle>

</mrow>

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</mover>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {R}}_{1}={\tfrac {1}{N_{z}}}{\vec {R}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/afecaa82abc5b2954f3f85d0053b985d1a44cb65.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:10.625ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {R}}_{1}={\tfrac {1}{N_{z}}}{\vec {R}}}" loading="lazy">(μ, Nz, v) eingesetzt, was die <a href="#Geschwindigkeitsabhängigkeit_der_Reibkraft">Reibkraft</a> aufgrund einer Einheitskraft ist.

<td>Herleitung der Normalkraft Nz

</td></tr>

<tr>

<td>Mit der Winkelgeschwindigkeit

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {1}{A}}{\vec {L}}+{\frac {A-C}{AC}}L_{3}\,{\hat {e}}_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6568a879a76cb2eef123bb2d4a3886f4228eebda.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:24.103ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {1}{A}}{\vec {L}}+{\frac {A-C}{AC}}L_{3}\,{\hat {e}}_{3}}" loading="lazy"></dd></dl>

werden unter Ausnutzung des Drallsatzes und der <a href="Gra%C3%9Fmann-Identit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Graßmann-Identität">Graßmann-Identität</a> die Zeitableitungen der Figurenachse bereitgestellt:

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {e}}}_{3}=&{\frac {1}{A}}{\vec {L}}\times {\hat {e}}_{3}\\{\ddot {\hat {e}}}_{3}=&{\frac {1}{A}}{\dot {\vec {L}}}\times {\hat {e}}_{3}+{\frac {1}{A}}{\vec {L}}\times {\dot {\hat {e}}}_{3}\\=&{\frac {1}{A}}[(-s\,{\hat {e}}_{3}-\rho \,{\hat {e}}_{z})\times (N_{z}\,{\hat {e}}_{z}+{\vec {R}})]\times {\hat {e}}_{3}+{\frac {1}{A^{2}}}{\vec {L}}\times ({\vec {L}}\times {\hat {e}}_{3})\\=&-{\frac {N_{z}}{A}}[({\vec {R}}_{1}\cdot {\hat {e}}_{3}+u){\vec {a}}+(s+\rho u)({\vec {R}}_{1}+{\hat {e}}_{z})]+{\frac {1}{A^{2}}}[L_{3}{\vec {L}}-({\vec {L}}\cdot {\vec {L}})\,{\hat {e}}_{3}]\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bb8cc8fe52f0c30d040a50a28a8f492033f1fb99.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -10.505ex; width:72.529ex; height:22.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {e}}}_{3}=&{\frac {1}{A}}{\vec {L}}\times {\hat {e}}_{3}\\{\ddot {\hat {e}}}_{3}=&{\frac {1}{A}}{\dot {\vec {L}}}\times {\hat {e}}_{3}+{\frac {1}{A}}{\vec {L}}\times {\dot {\hat {e}}}_{3}\\=&{\frac {1}{A}}[(-s\,{\hat {e}}_{3}-\rho \,{\hat {e}}_{z})\times (N_{z}\,{\hat {e}}_{z}+{\vec {R}})]\times {\hat {e}}_{3}+{\frac {1}{A^{2}}}{\vec {L}}\times ({\vec {L}}\times {\hat {e}}_{3})\\=&-{\frac {N_{z}}{A}}[({\vec {R}}_{1}\cdot {\hat {e}}_{3}+u){\vec {a}}+(s+\rho u)({\vec {R}}_{1}+{\hat {e}}_{z})]+{\frac {1}{A^{2}}}[L_{3}{\vec {L}}-({\vec {L}}\cdot {\vec {L}})\,{\hat {e}}_{3}]\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Hier wurde <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {R}}=N_{z}{\vec {R}}_{1}}">

<mover>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {R}}=N_{z}{\vec {R}}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd019b36c09325a0073ff2545ceae33dd899f41d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.549ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {R}}=N_{z}{\vec {R}}_{1}}" loading="lazy"> gesetzt. Mit dem Impulssatz berechnet sich die Beschleunigung des geometrischen Zentrums <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {Z}}:={\vec {G}}-s\,{\hat {e}}_{3}}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {Z}}:={\vec {G}}-s\,{\hat {e}}_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ec0129649f1fe7877e3e294d0cc3f764331cb28.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.916ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {Z}}:={\vec {G}}-s\,{\hat {e}}_{3}}" loading="lazy"> (Z in <a href="#Realisierungen_und_mechanisches_Modell">Abb. 2</a>), das den gleichbleibenden Abstand ρ zum untersten Kreiselpunkt hat:

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\vec {Z}}}=&{\ddot {\vec {G}}}-s{\ddot {\hat {e}}}_{3}\\=&{\frac {1}{m}}[(N_{z}-mg)\,{\hat {e}}_{z}+{\vec {R}}]-{\frac {s}{A^{2}}}[L_{3}{\vec {L}}-({\vec {L}}\cdot {\vec {L}})\,{\hat {e}}_{3}]\\&+{\frac {sN_{z}}{A}}[({\vec {R}}_{1}\cdot {\hat {e}}_{3}+u){\vec {a}}+(s+\rho u)({\vec {R}}_{1}+{\hat {e}}_{z})]\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3f0338b4f38ea80d7e151fca84f2daa006fd5b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.691ex; margin-bottom: -0.313ex; width:51.229ex; height:15.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\vec {Z}}}=&{\ddot {\vec {G}}}-s{\ddot {\hat {e}}}_{3}\\=&{\frac {1}{m}}[(N_{z}-mg)\,{\hat {e}}_{z}+{\vec {R}}]-{\frac {s}{A^{2}}}[L_{3}{\vec {L}}-({\vec {L}}\cdot {\vec {L}})\,{\hat {e}}_{3}]\\&+{\frac {sN_{z}}{A}}[({\vec {R}}_{1}\cdot {\hat {e}}_{3}+u){\vec {a}}+(s+\rho u)({\vec {R}}_{1}+{\hat {e}}_{z})]\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Beim nicht abgehobenen Kreisel ist die z-Komponente davon 0, was die Bestimmungsgleichung für Nz liefert:

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</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\vec {Z}}}\cdot {\hat {e}}_{z}=&{\frac {1}{m}}(N_{z}-mg)-{\frac {s}{A^{2}}}[L_{3}L_{z}-({\vec {L}}\cdot {\vec {L}})u]\\&+{\frac {sN_{z}}{A}}[-({\vec {R}}_{1}\cdot {\hat {e}}_{3}+u)(\rho +su)+s+\rho u]\;{\stackrel {!}{=}}\;0\\\rightarrow N_{z}=&{\frac {g+{\frac {s}{A^{2}}}[L_{3}L_{z}-({\vec {L}}\cdot {\vec {L}})u]}{{\frac {1}{m}}+{\frac {s}{A}}[s+\rho u-({\vec {R}}_{1}\cdot {\hat {e}}_{3}+u)(\rho +su)]}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ac6cc71e31e97816812f09996e8d492d0ee5038.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.505ex; width:54.436ex; height:20.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\vec {Z}}}\cdot {\hat {e}}_{z}=&{\frac {1}{m}}(N_{z}-mg)-{\frac {s}{A^{2}}}[L_{3}L_{z}-({\vec {L}}\cdot {\vec {L}})u]\\&+{\frac {sN_{z}}{A}}[-({\vec {R}}_{1}\cdot {\hat {e}}_{3}+u)(\rho +su)+s+\rho u]\;{\stackrel {!}{=}}\;0\\\rightarrow N_{z}=&{\frac {g+{\frac {s}{A^{2}}}[L_{3}L_{z}-({\vec {L}}\cdot {\vec {L}})u]}{{\frac {1}{m}}+{\frac {s}{A}}[s+\rho u-({\vec {R}}_{1}\cdot {\hat {e}}_{3}+u)(\rho +su)]}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Wenige Umformungen führen auf den im Text stehenden Ausdruck.

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Jelletts_Integral">Jelletts Integral</h3></div>

Bei der Bewegung des Spielkreisels unter ausschließlicher <a href="Gleitreibung" class="mw-redirect" title="Gleitreibung">Gleitreibung</a> gibt es eine von <a href="John_Hewitt_Jellett" title="John Hewitt Jellett">J. H. Jellett</a><a href="#cite_note-jellett-9">[9]</a> gefundene und von <a href="Edward_Routh" title="Edward Routh">E. Routh</a><a href="#cite_note-29">[29]</a> als solche allgemein nachgewiesene <a href="Integral_der_Bewegung" title="Integral der Bewegung">Bewegungskonstante</a>

<mover>

</mover>

</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J:={\vec {L}}\cdot {\vec {a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f130638931e6f7f43c946478308402eef011a47.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.708ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle J:={\vec {L}}\cdot {\vec {a}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Sie ist die Projektion des Drehimpulses <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {L}}}">

<mover>

</mover>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a0c139fc28d6ca3873993892f44e7331e5ff18fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}}" loading="lazy"> auf die Verbindungslinie GT =<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}=-s\,{\hat {e}}_{3}-\rho \,{\hat {e}}_{z}}">

<mover>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}=-s\,{\hat {e}}_{3}-\rho \,{\hat {e}}_{z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0e4006d13fd8c637986e4da882ee9b2193ed98cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.683ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}=-s\,{\hat {e}}_{3}-\rho \,{\hat {e}}_{z}}" loading="lazy"> vom Massenmittelpunkt G zum Aufstandspunkt T an der kugelförmigen unteren Kreiselspitze, siehe Abb. 5 (s = |GC| und ρ = |CT|.)

Jellettʹs Integral ist von der <a href="Reibungskraft" class="mw-redirect" title="Reibungskraft">Reibungskraft</a> und somit von den Oberflächeneigenschaften des Untergrunds und des Kreisels unabhängig. Die bohrende, <a href="Rollreibung" class="mw-redirect" title="Rollreibung">Roll-</a> und <a href="Luftreibung" class="mw-redirect" title="Luftreibung">Luftreibung</a>, die in der Theorie vernachlässigt werden, zehren realistisch betrachtet die Jellett-Konstante mit der Zeit auf. Die Bedeutung von Jellettʹs Integral fusst darin, dass beim gewöhnlichen Spielkreisel aus <a href="#Snap_Top_and_Trompo.jpg">Abb. 1</a> die anderen Reibungsformen wesentlich schwächer ausgeprägt sind als die Gleitreibung.

Bei der <a href="Regul%C3%A4re_Pr%C3%A4zession" title="Reguläre Präzession">regulären Präzession</a> des Spielkreisels ruht der Massenmittelpunkt G und rollt der Kreisel gleitungslos auf dem Untergrund ab. Deshalb ruht der Aufstandspunkt T momentan ebenfalls, denn sonst gäbe es Schlupf. Auch bei der permanenten Drehung um die lotrechte Figurenachse ruhen Massenmittelpunkt und Aufstandspunkt. Bei diesen gleichförmigen Bewegungsformen ist demnach GT =<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/546e6615827e17295718741fd0b86f639a947f16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}}" loading="lazy"> die momentane Drehachse. Für die Analyse des Spielkreisels ist daher die folgende Zerlegung des Drehimpulses und der <a href="Rotationsenergie" title="Rotationsenergie">Rotationsenergie</a> zweckmäßig:

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {L}}=:&{\frac {J}{|{\vec {a}}|^{2}\Theta _{a}}}\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {a}}+{\vec {L}}_{\bot },\quad {\vec {L}}_{\bot }\cdot {\vec {a}}=0\\E_{\text{rot}}=&{\frac {J^{2}}{2|{\vec {a}}|^{2}\Theta _{a}}}+{\frac {1}{2}}{\vec {L}}_{\bot }\cdot \mathbf {\Theta } ^{-1}\cdot {\vec {L}}_{\bot }\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e2a2833161258f69d391bb5ebd59d2cf26cc9417.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.171ex; width:39.123ex; height:13.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {L}}=:&{\frac {J}{|{\vec {a}}|^{2}\Theta _{a}}}\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {a}}+{\vec {L}}_{\bot },\quad {\vec {L}}_{\bot }\cdot {\vec {a}}=0\\E_{\text{rot}}=&{\frac {J^{2}}{2|{\vec {a}}|^{2}\Theta _{a}}}+{\frac {1}{2}}{\vec {L}}_{\bot }\cdot \mathbf {\Theta } ^{-1}\cdot {\vec {L}}_{\bot }\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin ist Θ der <a href="Tr%C3%A4gheitstensor" title="Trägheitstensor">Trägheitstensor</a> und Θa das bei einer Drehung um GT wirkende <a href="Massentr%C3%A4gheitsmoment" class="mw-redirect" title="Massenträgheitsmoment">Massenträgheitsmoment</a>. Beim Übergang des Kreisels in eine gleichförmige Drehung um GT geht <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {L}}_{\bot }}">

<msub>

<mover>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}_{\bot }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a90ca4a04a400105969727d03241a80cefee01e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.094ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}_{\bot }}" loading="lazy"> gegen null und der Neigungswinkel, der Abstand |GT| sowie das Massenträgheitsmoment Θa werden konstant.<a href="#cite_note-rauch340-30">[30]</a>

<td>Konstanz von Jelletts Integral

</td></tr>

<tr>

<td>Die <a href="Zeitableitung" title="Zeitableitung">Zeitableitung</a> der Jellett-Konstante verschwindet bei ausschließlicher Gleitreibung, weil das Moment der Aufstandskraft den axialen Drehimpuls verlustfrei in vertikalen umsetzt und umgekehrt.

Denn beim symmetrischen Kreisel sind der Drehimpuls, die Winkelgeschwindigkeit und die Figurenachse komplanar: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {L}}\cdot ({\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{3})=0}">

<mover>

</mover>

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</mover>

</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}\cdot ({\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{3})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14b4a1ad74948bfa20ec06184518d118cd3a6307.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.964ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}\cdot ({\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{3})=0}" loading="lazy">, siehe <a href="Symmetrischer_Kreisel#Winkelgeschwindigkeit_und_Drehimpuls" title="Symmetrischer Kreisel">Symmetrischer Kreisel#Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls</a>. Die zeitliche Ableitung körperfester Vektoren berechnet sich aus dem Kreuzprodukt mit der Winkelgeschwindigkeit, was insbesondere die Konsequenz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {L}}\cdot {\dot {\hat {e}}}_{3}={\vec {L}}\cdot ({\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{3})=0}">

<mover>

</mover>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}\cdot {\dot {\hat {e}}}_{3}={\vec {L}}\cdot ({\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{3})=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e54b91bef4811311777c3f2b342fa91141d524a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.67ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}\cdot {\dot {\hat {e}}}_{3}={\vec {L}}\cdot ({\vec {\omega }}\times {\hat {e}}_{3})=0}" loading="lazy"> hat.

Nach dem <a href="Drallsatz" title="Drallsatz">Drallsatz</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19ad3d94d6dc37a4dde7a3decf9f5757704039a8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.124ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}}" loading="lazy"> ist die zeitliche Ableitung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\vec {L}}}}">

<mover>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\vec {L}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f47858a862e46aace9859f3f39619fd05d642390.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\vec {L}}}}" loading="lazy"> des Drehimpulses um den Massenmittelpunkt gleich dem Moment <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {a}}\times {\vec {N}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {a}}\times {\vec {N}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79024bb8b3ccfa658d9cf7e6769f01c3e53d2c7c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.674ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}={\vec {a}}\times {\vec {N}}}" loading="lazy">, das im Massenmittelpunkt durch die im Aufstandspunkt angreifende Kraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {N}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {N}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13e01cc1cec4201098af497311170ea68412c6b7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {N}}}" loading="lazy"> aufgebracht wird. Die Kraft muss nicht senkrecht zur Unterlage wirken und beinhaltet ausdrücklich auch etwaige Reibkräfte. Nun ist nach der <a href="Produktregel" title="Produktregel">Produktregel</a>

<mtr>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}({\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{3}{\dot {)\;}}=&{\dot {\vec {L}}}\cdot {\hat {e}}_{3}+{\vec {L}}\cdot {\dot {\hat {e}}}_{3}={\vec {M}}\cdot {\hat {e}}_{3}\\=&{\big (}(-s\,{\hat {e}}_{3}-\rho \,{\hat {e}}_{z})\times {\vec {N}}{\big )}\cdot {\hat {e}}_{3}=\rho ({\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{3})\cdot {\vec {N}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/664c9aad713386ff225a89f183335d83fa224e81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:53.821ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}({\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{3}{\dot {)\;}}=&{\dot {\vec {L}}}\cdot {\hat {e}}_{3}+{\vec {L}}\cdot {\dot {\hat {e}}}_{3}={\vec {M}}\cdot {\hat {e}}_{3}\\=&{\big (}(-s\,{\hat {e}}_{3}-\rho \,{\hat {e}}_{z})\times {\vec {N}}{\big )}\cdot {\hat {e}}_{3}=\rho ({\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{3})\cdot {\vec {N}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

wo ausgenutzt wurde, dass im <a href="Spatprodukt" title="Spatprodukt">Spatprodukt</a> die Faktoren zyklisch vertauscht werden dürfen. In gleicher Weise zeigt sich

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</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}({\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{z}{\dot {)\;}}=&{\dot {\vec {L}}}\cdot {\hat {e}}_{z}={\vec {M}}\cdot {\hat {e}}_{z}\\=&{\big (}(-s\,{\hat {e}}_{3}-\rho \,{\hat {e}}_{z})\times {\vec {N}}{\big )}\cdot {\hat {e}}_{z}=-s({\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{3})\cdot {\vec {N}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5807e93002879cded8d32bae37d7ab0835d0d9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:55.413ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}({\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{z}{\dot {)\;}}=&{\dot {\vec {L}}}\cdot {\hat {e}}_{z}={\vec {M}}\cdot {\hat {e}}_{z}\\=&{\big (}(-s\,{\hat {e}}_{3}-\rho \,{\hat {e}}_{z})\times {\vec {N}}{\big )}\cdot {\hat {e}}_{z}=-s({\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{3})\cdot {\vec {N}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Das lässt sich kombinieren zu

<mover>

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</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0=-s({\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{3}{\dot {)\;}}-\rho ({\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{z}{\dot {)\;}}=[{\vec {L}}\cdot (-s\,{\hat {e}}_{3}-\rho \,{\hat {e}}_{z}){\dot {]\;}}=({\vec {L}}\cdot {\vec {a}}{\dot {)\;}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3a484dac81b3f1f777776476d652a0d9588c7f15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:59.781ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle 0=-s({\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{3}{\dot {)\;}}-\rho ({\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{z}{\dot {)\;}}=[{\vec {L}}\cdot (-s\,{\hat {e}}_{3}-\rho \,{\hat {e}}_{z}){\dot {]\;}}=({\vec {L}}\cdot {\vec {a}}{\dot {)\;}}}" loading="lazy"></dd></dl>

weswegen Jelletts <a href="Integralrechnung" title="Integralrechnung">Integral</a> unabhängig von der Aufstandskraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {N}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {N}}}</annotation>

</semantics>

</td></tr></tbody></table>

<td>Näheres zur Zerlegung des Drehimpulses

</td></tr>

<tr>

<td>Der Drehimpuls wird gemäß

<mover>

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</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}={\frac {J}{{\vec {a}}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {a}}}}\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {a}}+{\vec {L}}_{\bot }=:{\vec {L}}_{\parallel }+{\vec {L}}_{\bot }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bbdc021201d29cd01ad25e38dec359a3928a1b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:36.65ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}={\frac {J}{{\vec {a}}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {a}}}}\mathbf {\Theta } \cdot {\vec {a}}+{\vec {L}}_{\bot }=:{\vec {L}}_{\parallel }+{\vec {L}}_{\bot }}" loading="lazy"></dd></dl>

zerlegt in eine Komponente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {L}}_{\bot }}">

<msub>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}_{\bot }}</annotation>

</semantics>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {L}}_{\bot }={\vec {a}}\cdot {\vec {L}}-{\frac {J}{{\vec {a}}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {a}}}}{\vec {a}}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {a}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f2d312d2609f3a32f34b11f4a41a01919dd5943c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:37.321ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {L}}_{\bot }={\vec {a}}\cdot {\vec {L}}-{\frac {J}{{\vec {a}}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {a}}}}{\vec {a}}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {a}}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

senkrecht zu GT ist, und eine Komponente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {L}}_{\parallel }}">

<msub>

<mover>

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</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}_{\parallel }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2814422f443d11eca232aa0af7299d4803bb2cc9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:2.637ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}_{\parallel }}" loading="lazy">, die, wie sich zeigt, in der Präzessionsebene liegt. Denn jeder axiale Vektor wird durch den Trägheitstensor lediglich mit dem Faktor C und jeder äquatoriale lediglich mit dem Faktor A <a href="Zentrische_Streckung" title="Zentrische Streckung">gestreckt</a>. Somit liegt mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}=-s\,{\hat {e}}_{3}-\rho \,{\hat {e}}_{z}}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}=-s\,{\hat {e}}_{3}-\rho \,{\hat {e}}_{z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0e4006d13fd8c637986e4da882ee9b2193ed98cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.683ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}=-s\,{\hat {e}}_{3}-\rho \,{\hat {e}}_{z}}" loading="lazy">= GT auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {a}}}">

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3945fc79b0862fb4b9ecb1038dda3a41e53dbd2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.986ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {a}}}" loading="lazy"> in der von ê3 und êz erzeugten Präzessionsebene. Im Allgemeinen ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {L}}_{\parallel }\cdot {\vec {L}}_{\bot }\neq 0}">

<msub>

<mover>

</mover>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}_{\parallel }\cdot {\vec {L}}_{\bot }\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55a77d12371a94f7ffc861c249bf6fae1d729bc3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:11.671ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}_{\parallel }\cdot {\vec {L}}_{\bot }\neq 0}" loading="lazy">. Die Winkelgeschwindigkeit lautet

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}=\mathbf {\Theta } ^{-1}\cdot {\vec {L}}={\frac {J}{{\vec {a}}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {a}}}}{\vec {a}}+\mathbf {\Theta } ^{-1}\cdot {\vec {L}}_{\bot }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1981b36fa535391bf03bc19efd30499dcd29c6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:37.3ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}=\mathbf {\Theta } ^{-1}\cdot {\vec {L}}={\frac {J}{{\vec {a}}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {a}}}}{\vec {a}}+\mathbf {\Theta } ^{-1}\cdot {\vec {L}}_{\bot }}" loading="lazy"></dd></dl>

womit sich die <a href="Rotationsenergie" title="Rotationsenergie">Rotationsenergie</a> um den Massenmittelpunkt berechnet zu

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</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{rot}}:=&{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {L}}={\frac {J}{2{\vec {a}}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {a}}}}\underbrace {\overbrace {{\vec {\omega }}\cdot \mathbf {\Theta } } ^{\vec {L}}\cdot {\vec {a}}} _{J}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {J}{{\vec {a}}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {a}}}}{\vec {a}}+\mathbf {\Theta } ^{-1}\cdot {\vec {L}}_{\bot }\right)\cdot {\vec {L}}_{\bot }\\=&{\frac {J^{2}}{2|{\vec {a}}|^{2}\Theta _{a}}}+{\frac {1}{2}}{\vec {L}}_{\bot }\cdot \mathbf {\Theta } ^{-1}\cdot {\vec {L}}_{\bot }\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc1afecbbcc0e84875f45516f65affccbcc195de.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.838ex; width:71.12ex; height:16.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{rot}}:=&{\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {L}}={\frac {J}{2{\vec {a}}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {a}}}}\underbrace {\overbrace {{\vec {\omega }}\cdot \mathbf {\Theta } } ^{\vec {L}}\cdot {\vec {a}}} _{J}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {J}{{\vec {a}}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {a}}}}{\vec {a}}+\mathbf {\Theta } ^{-1}\cdot {\vec {L}}_{\bot }\right)\cdot {\vec {L}}_{\bot }\\=&{\frac {J^{2}}{2|{\vec {a}}|^{2}\Theta _{a}}}+{\frac {1}{2}}{\vec {L}}_{\bot }\cdot \mathbf {\Theta } ^{-1}\cdot {\vec {L}}_{\bot }\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Durch algebraische Umformungen kann weiters

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</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}|{\vec {a}}|=&\rho {\sqrt {(\alpha +u)^{2}+1-u^{2}}}\\\Theta _{a}:=&{\frac {{\vec {a}}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {a}}}{|{\vec {a}}|^{2}}}={\frac {(\alpha +u)^{2}+\gamma (1-u^{2})}{(\alpha +u)^{2}+1-u^{2}}}C\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3cb0f08bb59a45d981a66be41bf24e4b525b768.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.505ex; width:42.014ex; height:12.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}|{\vec {a}}|=&\rho {\sqrt {(\alpha +u)^{2}+1-u^{2}}}\\\Theta _{a}:=&{\frac {{\vec {a}}\cdot \mathbf {\Theta } \cdot {\vec {a}}}{|{\vec {a}}|^{2}}}={\frac {(\alpha +u)^{2}+\gamma (1-u^{2})}{(\alpha +u)^{2}+1-u^{2}}}C\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

nachgewiesen werden. Darin ist α = s/ρ, γ = A/C und u = cos(ϑ) der <a href="Sinus_und_Cosinus" class="mw-redirect" title="Sinus und Cosinus">Cosinus</a> des Neigungswinkels ϑ des Kreisels.

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Reguläre_Präzession">Reguläre Präzession</h3></div>

<div class="sieheauch" role="navigation" style="font-style:italic;">Siehe auch: <a href="Regul%C3%A4re_Pr%C3%A4zession" title="Reguläre Präzession">Reguläre Präzession</a></div>

Bei der regulären Präzession ruht der Massenmittelpunkt<a href="#cite_note-31">[31]</a> und sind die Winkelgeschwindigkeiten um die Lotrichtung und Figurenachse sowie die Neigung der Figurenachse konstant. Beim reibungsbehafteten Spielkreisel findet nur dann keine <a href="#Dissipation_der_Energie_durch_Reibung">#Dissipation der Energie durch Reibung</a> statt, wenn die untere Kreiselspitze auf dem Untergrund gleitungslos abrollt. Dazu müssen Präzessionsgeschwindigkeit, Eigendrehung und Neigung aufeinander abgestimmt sein. Aus der <a href="Regul%C3%A4re_Pr%C3%A4zession#Bedingung_an_den_Drehimpuls" title="Reguläre Präzession">Bedingung an den Drehimpuls bei der regulären Präzession</a> Lf Lv = Amgs resultiert die Präzessionsgeschwindigkeit

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\psi }}={\sqrt {\frac {mgs}{C[\alpha +(1-\gamma )u]}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c50630d5a3a56cece820069e80292e687146696a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; width:23.646ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\psi }}={\sqrt {\frac {mgs}{C[\alpha +(1-\gamma )u]}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Damit eine reguläre Präzession stattfinden kann, muss der Ausdruck in der eckigen Klammer im Nenner positiv sein. Wegen der Rollbedingung gibt es, anders als im reibungsfreien Fall, zu jedem Neigungswinkel höchstens eine Präzessionsgeschwindigkeit.

Der Betrag von <a href="#Jelletts_Integral">#Jelletts Integral</a> nimmt die Form<a href="#cite_note-32">[32]</a>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{R}(u)=J_{\beta }{\frac {(\alpha +u)^{2}+\gamma (1-u^{2})}{\sqrt {\alpha +(1-\gamma )u}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f93243734a7b3f70605fb9f9845d7d9ed53037.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:33.128ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle J_{R}(u)=J_{\beta }{\frac {(\alpha +u)^{2}+\gamma (1-u^{2})}{\sqrt {\alpha +(1-\gamma )u}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

an, worin Jβ = ρ√(Cmgs) eine Kreisel eigene Konstante mit der <a href="Dimension_(Gr%C3%B6%C3%9Fensystem)" title="Dimension (Größensystem)">Dimension</a> des Jellett-Integrals ist.

<td>Herleitung der Präzessionsgeschwindigkeit

</td></tr>

<tr>

<td>Die mit den Eulerʹschen Winkeln ψ, ϑ und φ ausgedrückten Winkelgeschwindigkeiten p, q, r = ω1,2,3 und Hauptachsen ê1,2,3, siehe <a href="Kreiseltheorie#Bezugssysteme_und_Euler-Winkel" title="Kreiseltheorie">Kreiseltheorie#Bezugssysteme und Euler-Winkel</a>, liefern bei ruhendem Aufstandspunkt (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\varphi }}=\alpha {\dot {\psi }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\varphi }}=\alpha {\dot {\psi }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5bbf5aa8ae535596e591bad9e0873fa2b3ab0ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.716ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\varphi }}=\alpha {\dot {\psi }}}" loading="lazy"> siehe unten):

<mtr>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}L_{z}:=&{\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{z}=Ap\sin(\vartheta )\sin(\varphi )+Aq\sin(\vartheta )\cos(\varphi )+Cr\cos(\vartheta )\\=&{\big (}A\sin ^{2}(\vartheta )+C\cos ^{2}(\vartheta ){\big )}{\dot {\psi }}+C\cos(\vartheta ){\dot {\varphi }}\\L_{3}:=&{\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{3}=Cr=C{\big (}{\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}{\big )}\\{\vec {L}}=&L_{v}{\hat {e}}_{z}+L_{f}{\hat {e}}_{3}\\L_{v}=&{\frac {L_{z}-L_{3}\cos(\vartheta )}{\sin ^{2}(\vartheta )}}=A{\dot {\psi }}\\L_{f}=&{\frac {L_{3}-L_{z}\cos(\vartheta )}{\sin ^{2}(\vartheta )}}=C[\alpha +(1-\gamma )\cos(\vartheta )]{\dot {\psi }}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87eb6e53a2a7296cb045e9dcc20b927f38151aea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -13.505ex; width:62.296ex; height:28.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}L_{z}:=&{\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{z}=Ap\sin(\vartheta )\sin(\varphi )+Aq\sin(\vartheta )\cos(\varphi )+Cr\cos(\vartheta )\\=&{\big (}A\sin ^{2}(\vartheta )+C\cos ^{2}(\vartheta ){\big )}{\dot {\psi }}+C\cos(\vartheta ){\dot {\varphi }}\\L_{3}:=&{\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{3}=Cr=C{\big (}{\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}{\big )}\\{\vec {L}}=&L_{v}{\hat {e}}_{z}+L_{f}{\hat {e}}_{3}\\L_{v}=&{\frac {L_{z}-L_{3}\cos(\vartheta )}{\sin ^{2}(\vartheta )}}=A{\dot {\psi }}\\L_{f}=&{\frac {L_{3}-L_{z}\cos(\vartheta )}{\sin ^{2}(\vartheta )}}=C[\alpha +(1-\gamma )\cos(\vartheta )]{\dot {\psi }}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die <a href="Regul%C3%A4re_Pr%C3%A4zession#Bedingung_an_den_Drehimpuls" title="Reguläre Präzession">Bedingung an den Drehimpuls bei der regulären Präzession</a> Lf Lv = Amgs liefert schließlich die im Text angegebene Präzessionsgeschwindigkeit

<mover>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\psi }}={\sqrt {\frac {mgs}{C[\alpha +(1-\gamma )u]}}}}</annotation>

</semantics>

</td></tr>

<tr>

<th>Ruhbedingung des Aufstandspunkts

</th></tr>

<tr>

<td>Der Massenmittelpunkt G wird mit dem Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {G}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {G}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/241bb14fd31373ea9f4a602cc59e4ec1da27b10b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\vec {G}}}" loading="lazy"> identifiziert und genauso der unterste Kreiselpunkt T mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {T}}={\vec {G}}+{\vec {a}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {T}}={\vec {G}}+{\vec {a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a33ab4af2a64f510ca5cf24c7b59622703d7d14.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:10.735ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {T}}={\vec {G}}+{\vec {a}}}" loading="lazy">, wobei der Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}=-s\,{\hat {e}}_{3}-\rho \,{\hat {e}}_{z}}">

<mover>

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</mrow>

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</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}=-s\,{\hat {e}}_{3}-\rho \,{\hat {e}}_{z}}</annotation>

</semantics>

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</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\vec {T}}}={\dot {\vec {G}}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {a}}={\dot {\vec {G}}}-{\vec {\omega }}\times (s\,{\hat {e}}_{3}+\rho \,{\hat {e}}_{z})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de00587a251ff7d688a42441d81cd46e3c7c5dfd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.429ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\vec {T}}}={\dot {\vec {G}}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {a}}={\dot {\vec {G}}}-{\vec {\omega }}\times (s\,{\hat {e}}_{3}+\rho \,{\hat {e}}_{z})}" loading="lazy"></dd></dl>

Bei der regulären Präzession ist die Winkelgeschwindigkeit parallel zu GT (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\omega }}\times {\vec {a}}={\vec {0}}}">

<mover>

</mover>

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<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}\times {\vec {a}}={\vec {0}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84e62f38c44680f71d1dcd7444bc6d41c3e113d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.777ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}\times {\vec {a}}={\vec {0}}}" loading="lazy">) und ruht T, weswegen der Massenmittelpunkt stillsteht.

Die Winkelgeschwindigkeit kann mit den Eulerʹschen Winkeln ψ, ϑ und φ im Eulerʹschen Basissystem ausgedrückt werden: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {\omega }}={\dot {\psi }}\,{\hat {e}}_{z}+{\dot {\vartheta }}\,{\hat {e}}_{N}+{\dot {\varphi }}\,{\hat {e}}_{3}}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}={\dot {\psi }}\,{\hat {e}}_{z}+{\dot {\vartheta }}\,{\hat {e}}_{N}+{\dot {\varphi }}\,{\hat {e}}_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c264c78083d88e0efe111090a92d1822743b3daf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.601ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}={\dot {\psi }}\,{\hat {e}}_{z}+{\dot {\vartheta }}\,{\hat {e}}_{N}+{\dot {\varphi }}\,{\hat {e}}_{3}}" loading="lazy">, worin der Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sin(\vartheta )\,{\hat {e}}_{N}={\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{3}}">

<msub>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sin(\vartheta )\,{\hat {e}}_{N}={\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1bcacb4d91e0b595b3267330f2e77640ec13ed92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.987ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \sin(\vartheta )\,{\hat {e}}_{N}={\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{3}}" loading="lazy"> in Knotenrichtung weist, siehe <a href="Kreiseltheorie#Bezugssysteme_und_Euler-Winkel" title="Kreiseltheorie">Kreiseltheorie#Bezugssysteme und Euler-Winkel</a>. Mit α = s/ρ ergibt sich die Geschwindigkeit

<mover>

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</mrow>

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</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\vec {T}}}={\dot {\vec {G}}}_{h}+[{\dot {G}}_{z}+s{\dot {\vartheta }}\sin(\vartheta )]\,{\hat {e}}_{z}+({\vec {G}}\cdot {\hat {e}}_{z}){\dot {\vartheta }}\,{\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{N}+\rho ({\dot {\varphi }}-\alpha {\dot {\psi }})\,{\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5dc17ee00df49ef68cf5c04ddc41ebfd0e9883a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:70.896ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\vec {T}}}={\dot {\vec {G}}}_{h}+[{\dot {G}}_{z}+s{\dot {\vartheta }}\sin(\vartheta )]\,{\hat {e}}_{z}+({\vec {G}}\cdot {\hat {e}}_{z}){\dot {\vartheta }}\,{\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{N}+\rho ({\dot {\varphi }}-\alpha {\dot {\psi }})\,{\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{3}}" loading="lazy"></dd></dl>

Es existiert keine Horizontalgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\vec {G}}}_{h}}">

<msub>

<mover>

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</mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\vec {G}}}_{h}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38b6dfd1b945620f8f0cb158f8f51119a0a74b04.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.006ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\vec {G}}}_{h}}" loading="lazy"> und keine Vertikalgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {G}}_{z}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {G}}_{z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e2890ab051ae3fa20af53a3eb8decb156595932.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.828ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {G}}_{z}}" loading="lazy"> und der Neigungswinkel ϑ ist konstant. Bei still stehendem Aufstandspunkt T folgt aus dem letzten Summand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {\varphi }}=\alpha {\dot {\psi }}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\varphi }}=\alpha {\dot {\psi }}}</annotation>

</semantics>

</td></tr></tbody></table>

<td>Herleitung der Funktion JR(u)

</td></tr>

<tr>

<td>Mit den Zwischenergebnissen aus der Herleitung der Präzessionsgeschwindigkeit und der Abkürzung u = cos(ϑ) entsteht der Drehimpuls

<mover>

</mover>

</mrow>

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</msub>

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</mrow>

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</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}=L_{v}\,{\hat {e}}_{z}+L_{f}\,{\hat {e}}_{3}={\dot {\psi }}\{A\,{\hat {e}}_{z}+C[\alpha +(1-\gamma )u]\,{\hat {e}}_{3}\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b49942a1b6aa2b079d4547cded8859e5b6bec26.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:51.075ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}=L_{v}\,{\hat {e}}_{z}+L_{f}\,{\hat {e}}_{3}={\dot {\psi }}\{A\,{\hat {e}}_{z}+C[\alpha +(1-\gamma )u]\,{\hat {e}}_{3}\}}" loading="lazy"></dd></dl>

und mit der Präzessionsgeschwindigkeit

<mover>

</mover>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {\psi }}={\sqrt {\frac {mgs}{C[\alpha +(1-\gamma )u]}}}={\frac {J_{\beta }}{\rho C{\sqrt {\alpha +(1-\gamma )u}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22a76dda24a27703f65c9f5bf056acd24bacf7a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.671ex; width:45.605ex; height:7.676ex;" alt="{\displaystyle {\dot {\psi }}={\sqrt {\frac {mgs}{C[\alpha +(1-\gamma )u]}}}={\frac {J_{\beta }}{\rho C{\sqrt {\alpha +(1-\gamma )u}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

der Betrag des Jellett-Integrals

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{R}(u):=|{\vec {L}}\cdot {\vec {a}}|={\vec {L}}\cdot (s{\hat {e}}_{3}+\rho {\hat {e}}_{z})=J_{\beta }{\frac {(\alpha +u)^{2}+\gamma (1-u^{2})}{\sqrt {\alpha +(1-\gamma )u}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5c7e6978a3a3ea2322b910923e261a7b48a9f87.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:60.6ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle J_{R}(u):=|{\vec {L}}\cdot {\vec {a}}|={\vec {L}}\cdot (s{\hat {e}}_{3}+\rho {\hat {e}}_{z})=J_{\beta }{\frac {(\alpha +u)^{2}+\gamma (1-u^{2})}{\sqrt {\alpha +(1-\gamma )u}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin ist Jβ = ρ√(Cmgs) eine Kreisel eigene Konstante.

</td></tr></tbody></table>

Wenn ❘J❘ = JR(u) ist, ist die <a href="#Stabilität_der_stationären_Bewegungen">#Stabilität der stationären Bewegungen</a> gegeben, weil dann die Gesamtenergie des Spielkreisels als Funktion des Neigungswinkels in u stationär ist<a href="#cite_note-rauch353-33">[33]</a>. Im Folgenden werden einige Merkmale von JR(u) aufgeführt.

Die Randwerte

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}J_{R1}:=&J_{R}(1)={\frac {J_{\beta }(1+\alpha )^{2}}{\sqrt {\alpha -\gamma +1}}}\\J_{R-1}:=&J_{R}(-1)={\frac {J_{\beta }(1-\alpha )^{2}}{\sqrt {\alpha +\gamma -1}}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59df7902902768935cf0540d9f96c54dc4388144.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.838ex; width:32.123ex; height:14.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}J_{R1}:=&J_{R}(1)={\frac {J_{\beta }(1+\alpha )^{2}}{\sqrt {\alpha -\gamma +1}}}\\J_{R-1}:=&J_{R}(-1)={\frac {J_{\beta }(1-\alpha )^{2}}{\sqrt {\alpha +\gamma -1}}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

sind Kreisel eigene Konstanten. Wenn JR(u) im Intervall u ∈ ⅅ ⊆ [-1:1] eine <a href="Monotone_Funktion" class="mw-redirect" title="Monotone Funktion">monotone Funktion</a> von u ist, dann gibt es zu jedem Jellett-Integral zwischen den Randwerten in ⅅ genau eine mögliche Neigung des Kreisels, mit der der Kreisel regulär präzedieren kann. Wenn andernfalls irgendwo in ⅅ die Ableitung

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {J_{R}}'(u):={\frac {\mathrm {d} J_{R}}{\mathrm {d} u}}=J_{\beta }{\frac {3[\alpha +(1-\gamma )u]^{2}-\gamma (1-\alpha ^{2}-\gamma )}{2[\alpha +(1-\gamma )u]^{\frac {3}{2}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e0cb13063acdd6cf1bc784bbf89dbda7582ac1e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:54.438ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle {J_{R}}'(u):={\frac {\mathrm {d} J_{R}}{\mathrm {d} u}}=J_{\beta }{\frac {3[\alpha +(1-\gamma )u]^{2}-\gamma (1-\alpha ^{2}-\gamma )}{2[\alpha +(1-\gamma )u]^{\frac {3}{2}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

null ist, gibt es <a href="Extremwert" title="Extremwert">Extremwerte</a>, in deren Umgebung zu einem Wert des Integrals zwei mögliche Neigungswinkel existieren. In physikalisch erreichbaren Nullstellen JR'(um) = 0 gilt

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}u_{m}=&{\frac {-\alpha +{\sqrt {{\frac {\gamma }{3}}(1-\alpha ^{2}-\gamma )}}}{1-\gamma }}\\J_{Rm}:=&J_{R}(u_{m})={\frac {4J_{\beta }}{1-\gamma }}\left({\frac {\gamma }{3}}(1-\alpha ^{2}-\gamma )\right)^{\frac {3}{4}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c68ed6ce04b586c97bb7664920f0ea84cde1b517.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.838ex; width:43.914ex; height:14.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}u_{m}=&{\frac {-\alpha +{\sqrt {{\frac {\gamma }{3}}(1-\alpha ^{2}-\gamma )}}}{1-\gamma }}\\J_{Rm}:=&J_{R}(u_{m})={\frac {4J_{\beta }}{1-\gamma }}\left({\frac {\gamma }{3}}(1-\alpha ^{2}-\gamma )\right)^{\frac {3}{4}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

was bei realen Bewegungen nur sein kann, wenn

also beim abgeplatteten Kreisel, mit stumpfer Kreiselspitze α = s/ρ < 1/√2 ≈ 0,7.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Gesamtenergie_des_Spielkreisels">Gesamtenergie des Spielkreisels</h3></div>

Die <a href="Gesamtenergie" title="Gesamtenergie">Gesamtenergie</a> E = Etra + Erot + Epot des Spielkreisels setzt sich zusammen aus seiner

<ul><li><a href="Translationsenergie" class="mw-redirect" title="Translationsenergie">Translationsenergie</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\text{tra}}={\tfrac {m}{2}}{\dot {\vec {G}}}\cdot {\dot {\vec {G}}}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\text{tra}}={\tfrac {m}{2}}{\dot {\vec {G}}}\cdot {\dot {\vec {G}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8061f73a5f9b406f4af899382a1dc0d186fc4532.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:14.764ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle E_{\text{tra}}={\tfrac {m}{2}}{\dot {\vec {G}}}\cdot {\dot {\vec {G}}}}" loading="lazy">,</li>

<li><a href="Rotationsenergie" title="Rotationsenergie">Rotationsenergie</a> bezüglich des Massenmittelpunkts <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\text{rot}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {L}}={\tfrac {1}{2A}}{\vec {L}}\cdot {\vec {L}}+{\tfrac {A-C}{2AC}}L_{3}^{2}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\text{rot}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {L}}={\tfrac {1}{2A}}{\vec {L}}\cdot {\vec {L}}+{\tfrac {A-C}{2AC}}L_{3}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9a457265b16c33c77dcddbc19eb25ab91e7bc33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:34.426ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle E_{\text{rot}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {L}}={\tfrac {1}{2A}}{\vec {L}}\cdot {\vec {L}}+{\tfrac {A-C}{2AC}}L_{3}^{2}}" loading="lazy"> und</li>

<li><a href="Lageenergie" class="mw-redirect" title="Lageenergie">Lageenergie</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{\text{pot}}=mg{\vec {G}}\cdot {\hat {e}}_{z}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{\text{pot}}=mg{\vec {G}}\cdot {\hat {e}}_{z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7457b36437969a4e07b51437f96dd9c1bec0dba5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:16.377ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle E_{\text{pot}}=mg{\vec {G}}\cdot {\hat {e}}_{z}}" loading="lazy"></li></ul>

Mit den im Abschnitt <a href="#Bewegungsgleichungen">#Bewegungsgleichungen</a> angegebenen Zusammenhängen, insbesondere

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {1}{A}}{\vec {L}}+{\frac {A-C}{AC}}({\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{3})\,{\hat {e}}_{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fb6ba1357916605967164bc85932178ffb6edde.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:28.883ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {1}{A}}{\vec {L}}+{\frac {A-C}{AC}}({\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{3})\,{\hat {e}}_{3}}" loading="lazy"></dd></dl>

zeigt sich beim aufstehenden Kreisel:<a href="#cite_note-rauch339-17">[17]</a>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}E=&{\frac {J^{2}}{2|{\vec {a}}|^{2}\Theta _{a}}}+mg\rho (1+\alpha u)\\&+{\frac {1}{2}}{\vec {L}}_{\bot }\cdot \mathbf {\Theta } ^{-1}\cdot {\vec {L}}_{\bot }+{\frac {m}{2}}\left[{\dot {G}}_{h}^{2}+\left({\frac {s}{A}}{\vec {L}}_{\bot }\cdot ({\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{3})\right)^{2}\right]\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0fbca95c1e5a83b411051cd1d75ac58ef2f97c30.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.005ex; width:58.651ex; height:13.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}E=&{\frac {J^{2}}{2|{\vec {a}}|^{2}\Theta _{a}}}+mg\rho (1+\alpha u)\\&+{\frac {1}{2}}{\vec {L}}_{\bot }\cdot \mathbf {\Theta } ^{-1}\cdot {\vec {L}}_{\bot }+{\frac {m}{2}}\left[{\dot {G}}_{h}^{2}+\left({\frac {s}{A}}{\vec {L}}_{\bot }\cdot ({\hat {e}}_{z}\times {\hat {e}}_{3})\right)^{2}\right]\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Hier tauchen ein Drehimpuls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {L}}_{\bot }}">

<msub>

<mover>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}_{\bot }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a90ca4a04a400105969727d03241a80cefee01e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.094ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}_{\bot }}" loading="lazy"> senkrecht zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {a}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {a}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/546e6615827e17295718741fd0b86f639a947f16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {a}}}" loading="lazy"> und <a href="#Jelletts_Integral">#Jelletts Integral</a> J auf, die dort definiert wurden. Die horizontale Schwerpunktsgeschwindigkeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\dot {G}}_{h}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {G}}_{h}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3101beb6be10dccbb1f5864bd49f114842d913d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.006ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\dot {G}}_{h}}" loading="lazy"> und der Drehimpuls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {L}}_{\bot }}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}_{\bot }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a90ca4a04a400105969727d03241a80cefee01e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.094ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}_{\bot }}" loading="lazy"> gehen bei Annäherung an eine stationäre Bewegung gegen null, sodass in einer solchen nur die ersten beiden Summanden übrig bleiben.<a href="#cite_note-rauch340-30">[30]</a>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Dissipation_der_Energie_durch_Reibung">Dissipation der Energie durch Reibung</h3></div>

Ohne Kontakt zur Unterlage bleibt die Gesamtenergie unter der hier getroffenen Beschränkung auf Gleitreibung erhalten. Bei Kontakt besitzt der unterste Kreiselpunkt keine Geschwindigkeit senkrecht zur Unterlage, also <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\dot {\vec {G}}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {a}})\cdot {\hat {e}}_{z}=0}">

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</mrow>

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<mover>

</mover>

</mrow>

<msub>

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</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\dot {\vec {G}}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {a}})\cdot {\hat {e}}_{z}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4708aac3c63686a5a02473ec8e6cac2f2d573109.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.226ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle ({\dot {\vec {G}}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {a}})\cdot {\hat {e}}_{z}=0}" loading="lazy">. Damit und mit den <a href="#Bewegungsgleichungen">#Bewegungsgleichungen</a> berechnet sich die Zeitableitung der Gesamtenergie des aufstehenden Kreisels zu

<mover>

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</mrow>

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</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\dot {E}}=\left({\dot {\vec {G}}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {a}}\right)\cdot {\vec {R}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8441657d759e4da469bcee363f18e0c283a68993.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:21.276ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle {\dot {E}}=\left({\dot {\vec {G}}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {a}}\right)\cdot {\vec {R}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Reibkraft <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {R}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {R}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f361eec9da18669c0e7e869c57bae6c657f53522.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\vec {R}}}" loading="lazy"> ist der Geschwindigkeit des Aufstandspunkts in der Klammer stets entgegen gerichtet, weshalb das Skalarprodukt niemals positiv ist und die Gesamtenergie mit der Zeit <a href="Monotone_reelle_Funktion" title="Monotone reelle Funktion">monoton</a> abnimmt.<a href="#cite_note-rauch337-20">[20]</a>

Bei einer stationären Bewegung auf der Unterlage muss der unterste Kreiselpunkt zu jedem Zeitpunkt ruhen, was bei der Rotation mit vertikaler Figurenachse und der <a href="#Reguläre_Präzession">#Reguläre Präzession</a> mit still stehendem Massenmittelpunkt der Fall ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Stabilität_der_stationären_Bewegungen">Stabilität der stationären Bewegungen</h3></div>

Eine stationäre Bewegung des Kreisels ist genau dann stabil, wenn seine Gesamtenergie in einem lokalen Minimum ist. Die Bedingungen hierfür fasst die Tabelle zusammen (u = cos(ϑ)).<a href="#cite_note-34">[34]</a>

<th>Symbol</th>

<th>Bewegungsform</th>

<th>Neigung</th>

<th>Stabilitätskriterium

</th></tr>

<tr>

<td style="text-align:center">▼

</td>

<td>Rotation um lotrechte aufrechte Figurenachse

</td>

<td>u = 1

</td>

<td>γ < 1 + α und ❘J❘ > JR1

</td></tr>

<tr>

<td style="text-align:center">▲

</td>

<td>Rotation mit lotrecht hängender Figurenachse

</td>

<td>u = -1

</td>

<td>γ < 1 - α oder ❘J❘ < JR-1

</td></tr>

<tr>

<td style="text-align:center">●

</td>

<td><a href="Regul%C3%A4re_Pr%C3%A4zession" title="Reguläre Präzession">Reguläre Präzession</a>

</td>

<td>-1 < u < 1

</td>

<td>γ > 1 - α² oder u > um

</td></tr></tbody></table>

Unter den umgekehrten Bedingungen ist die Gesamtenergie in einem lokalen Maximum und die Bewegung instabil.

<th>Symbol</th>

<th>Bewegungsform</th>

<th>Neigung</th>

<th>Kriterium für Instabilität

</th></tr>

<tr>

<td style="text-align:center">▽

</td>

<td>Rotation um lotrechte aufrechte Figurenachse

</td>

<td>u = 1

</td>

<td>γ ≥ 1 + α oder ❘J❘ ≤ JR1

</td></tr>

<tr>

<td style="text-align:center">△

</td>

<td>Rotation mit lotrecht hängender Figurenachse

</td>

<td>u = -1

</td>

<td>γ ≥ 1 - α und ❘J❘ ≥ JR-1

</td></tr>

<tr>

<td style="text-align:center">○

</td>

<td><a href="Regul%C3%A4re_Pr%C3%A4zession" title="Reguläre Präzession">Reguläre Präzession</a>

</td>

<td>-1 < u < 1

</td>

<td>γ ≤ 1 - α² und u ≤ um

</td></tr></tbody></table>

Der Größenvergleich mit JR1, JR-1 oder um wird nur bei <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellen</a> Werten herangezogen.

<td>Gesamtenergie der stationären Bewegungen

</td></tr>

<tr>

<td>Die Gesamtenergie bleibt nicht nur beim abgehobenen Kreisel konstant, sondern auch dann, wenn der unterste Kreiselpunkt auf der Unterlage stillsteht, er also nicht gleitet. Dann rotiert der Kreisel mit lotrechter Figurenachse oder die untere Kreiselspitze rollt bei einer regulären Präzession gleitungslos auf der Unterlage ab.

In diesen Gleichgewichtslösungen ruht der Massenmittelpunkt, ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {L}}_{\bot }={\vec {0}}}">

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {L}}_{\bot }={\vec {0}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9cdc9fa5bf97d7970182f34c8bb2ab9d57cdc6b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.355ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {L}}_{\bot }={\vec {0}}}" loading="lazy">, die Energie in einem lokalen Extremum und mit gegebenen Jellett-Integral J eine Funktion des Neigungswinkels allein:<a href="#cite_note-rauch353-33">[33]</a>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}E=&{\frac {2J_{\beta }^{2}(1+\alpha u)[(\alpha +u)^{2}+\gamma (1-u^{2})]+\alpha J^{2}}{2\rho ^{2}C\alpha [(\alpha +u)^{2}+\gamma (1-u^{2})]}}\\E_{,u}:=&{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} u}}={\frac {J_{\beta }^{2}[(\alpha +u)^{2}+\gamma (1-u^{2})]^{2}-J^{2}[\alpha +(1-\gamma )u]}{\rho ^{2}C[(\alpha +u)^{2}+\gamma (1-u^{2})]^{2}}}\\E_{,\vartheta }:=&{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} \vartheta }}={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} u}}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \vartheta }}=-\sin(\vartheta )E_{,u}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9e99cabba7820f144997cd33cc232648a13497e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -9.505ex; width:60.261ex; height:20.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}E=&{\frac {2J_{\beta }^{2}(1+\alpha u)[(\alpha +u)^{2}+\gamma (1-u^{2})]+\alpha J^{2}}{2\rho ^{2}C\alpha [(\alpha +u)^{2}+\gamma (1-u^{2})]}}\\E_{,u}:=&{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} u}}={\frac {J_{\beta }^{2}[(\alpha +u)^{2}+\gamma (1-u^{2})]^{2}-J^{2}[\alpha +(1-\gamma )u]}{\rho ^{2}C[(\alpha +u)^{2}+\gamma (1-u^{2})]^{2}}}\\E_{,\vartheta }:=&{\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} \vartheta }}={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} u}}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} \vartheta }}=-\sin(\vartheta )E_{,u}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Konstante Jβ = ρ√(Cmgs) hat die <a href="Dimension_(Gr%C3%B6%C3%9Fensystem)" title="Dimension (Größensystem)">Dimension</a> des Jellett-Integrals J. Die Gesamtenergie ist stationär, wenn E,ϑ = 0 und somit sin(ϑ) = 0 ist, die Figurenachse also lotrecht, oder wenn E,u = 0 ist. Der Zähler in E,u kann mit der <a href="Binomische_Formeln" title="Binomische Formeln">dritten binomischen Formel</a> in ein Produkt umgewandelt werden, das verschwindet, wenn ❘J❘ = JR(u), eine Identität, die die <a href="#Reguläre_Präzession">reguläre Präzession</a> erfüllt.

Die Gesamtenergie ist bei Drehung mit lotrechter Figurenachse und bei der regulären Präzession stationär.

</td></tr></tbody></table>

<td>Minima der Energie

</td></tr>

<tr>

<td>In einem Minimum der Gesamtenergie ist die Bewegung stabil und die zweite Ableitung der Gesamtenergie nach dem Neigungswinkel positiv. Es berechnet sich:

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}E_{,uu}:=&{\frac {\mathrm {d} ^{2}E}{\mathrm {d} u^{2}}}={\frac {J^{2}}{\rho ^{2}C}}{\frac {3[\alpha +(1-\gamma )u]^{2}+\gamma (\alpha ^{2}+\gamma -1)}{[(\alpha +u)^{2}+\gamma (1-u^{2})]^{3}}}\\E_{,\vartheta \vartheta }:=&{\frac {\mathrm {d} ^{2}E}{\mathrm {d} \vartheta ^{2}}}=-\cos(\vartheta )E_{,u}+\sin ^{2}(\vartheta )E_{,uu}=-uE_{,u}+(1-u^{2})E_{,uu}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9848a078df2b6a1cc43587571c736af67c295f52.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.573ex; margin-bottom: -0.265ex; width:67.213ex; height:12.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}E_{,uu}:=&{\frac {\mathrm {d} ^{2}E}{\mathrm {d} u^{2}}}={\frac {J^{2}}{\rho ^{2}C}}{\frac {3[\alpha +(1-\gamma )u]^{2}+\gamma (\alpha ^{2}+\gamma -1)}{[(\alpha +u)^{2}+\gamma (1-u^{2})]^{3}}}\\E_{,\vartheta \vartheta }:=&{\frac {\mathrm {d} ^{2}E}{\mathrm {d} \vartheta ^{2}}}=-\cos(\vartheta )E_{,u}+\sin ^{2}(\vartheta )E_{,uu}=-uE_{,u}+(1-u^{2})E_{,uu}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Bei lotrechter Figurenachse (u = ±1) hat E,ϑϑ das Vorzeichen von -u E,u. Beim aufrecht stehenden Kreisel ist u = 1 und die Energie im Minimum, wenn E,u < 0 also

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&(\alpha -\gamma +1)J^{2}>J_{\beta }^{2}(1+\alpha )^{4}\\\rightarrow \quad &\gamma <1+\alpha \quad {\text{und}}\quad |J|>{\frac {J_{\beta }(1+\alpha )^{2}}{\sqrt {\alpha -\gamma +1}}}=J_{R1}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eadfb8004d25ecc983aef750745d60561adde658.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.753ex; margin-bottom: -0.252ex; width:49.079ex; height:11.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&(\alpha -\gamma +1)J^{2}>J_{\beta }^{2}(1+\alpha )^{4}\\\rightarrow \quad &\gamma <1+\alpha \quad {\text{und}}\quad |J|>{\frac {J_{\beta }(1+\alpha )^{2}}{\sqrt {\alpha -\gamma +1}}}=J_{R1}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Beim lotrecht hängenden Kreisel ist u = -1 und die Energie im Minimum, wenn E,u > 0 also

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&(\alpha +\gamma -1)J^{2}<J_{\beta }^{2}(1-\alpha )^{4}\\\rightarrow \quad &\gamma <1-\alpha \quad {\text{oder}}\quad |J|<{\frac {J_{\beta }(1-\alpha )^{2}}{\sqrt {\alpha +\gamma -1}}}=J_{R-1}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8bfade34851863afd0af5d381911facbaa36683e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.753ex; margin-bottom: -0.252ex; width:50.879ex; height:11.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}&(\alpha +\gamma -1)J^{2}<J_{\beta }^{2}(1-\alpha )^{4}\\\rightarrow \quad &\gamma <1-\alpha \quad {\text{oder}}\quad |J|<{\frac {J_{\beta }(1-\alpha )^{2}}{\sqrt {\alpha +\gamma -1}}}=J_{R-1}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Bei einer regulären Präzession ist die Figurenachse nicht lotrecht, -1 < u < 1, α + (1 - γ)u > 0 und E,u = 0. Dann hat E,ϑϑ das Vorzeichen von E,uu, was wegen

<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle E_{,uu}>0\quad \leftrightarrow \quad 3[\alpha +(1-\gamma )u]^{2}>\gamma (1-\alpha ^{2}-\gamma )}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle E_{,uu}>0\quad \leftrightarrow \quad 3[\alpha +(1-\gamma )u]^{2}>\gamma (1-\alpha ^{2}-\gamma )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a54e1b3eb9b6c4b3c2b30b6a8aefc892a2f2ce8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:49.866ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle E_{,uu}>0\quad \leftrightarrow \quad 3[\alpha +(1-\gamma )u]^{2}>\gamma (1-\alpha ^{2}-\gamma )}" loading="lazy"></dd></dl>

unter den Bedingungen

<dl><dd><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma >1-\alpha ^{2}\quad {\text{oder}}\quad u>{\frac {-\alpha +{\sqrt {{\frac {\gamma }{3}}(1-\alpha ^{2}-\gamma )}}}{1-\gamma }}=u_{m}}">

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma >1-\alpha ^{2}\quad {\text{oder}}\quad u>{\frac {-\alpha +{\sqrt {{\frac {\gamma }{3}}(1-\alpha ^{2}-\gamma )}}}{1-\gamma }}=u_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e8df16e3aeb2cd5ebfeb492d331286625a9e36cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:53.962ex; height:8.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma >1-\alpha ^{2}\quad {\text{oder}}\quad u>{\frac {-\alpha +{\sqrt {{\frac {\gamma }{3}}(1-\alpha ^{2}-\gamma )}}}{1-\gamma }}=u_{m}}" loading="lazy"></dd></dl>

positiv ist.

</td></tr></tbody></table>

<td>Einteilung des α-γ-Parameterraums

</td></tr>

<tr>

<td>Die in Abb. 6 eingezeichneten Grenzen ergeben sich aus folgenden Bedingungen, die für reguläre Präzessionen relevant sind:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\left.\alpha +(1-\gamma )u\right|_{u=1}=0\;\rightarrow &\;\;\gamma =1+\alpha \\\left.\alpha +(1-\gamma )u\right|_{u=-1}=0\;\rightarrow &\;\;\gamma =1-\alpha \\\left.\alpha +(1-\gamma )u\right|_{u=u_{m}}=0\;\rightarrow &\;\;\gamma =1-\alpha ^{2}\\u_{m}=1\;\rightarrow &\;\;\gamma _{1,2}={\frac {1}{8}}(1+\alpha )\left(7-\alpha \pm {\sqrt {(7-\alpha )^{2}-48}}\right)\\u_{m}=-1\;\rightarrow &\;\;\gamma ={\frac {1}{8}}(1-\alpha )\left(7+\alpha +{\sqrt {(7+\alpha )^{2}-48}}\right)\\J_{R-1}=J_{R1}\;\rightarrow &\;\;\gamma ={\frac {(1-\alpha ^{2})(1+3\alpha ^{2})}{1+6\alpha ^{2}+\alpha ^{4}}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9ef3be368421159a907c48eead99fef3c2dd21a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -13.171ex; width:71.294ex; height:27.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\left.\alpha +(1-\gamma )u\right|_{u=1}=0\;\rightarrow &\;\;\gamma =1+\alpha \\\left.\alpha +(1-\gamma )u\right|_{u=-1}=0\;\rightarrow &\;\;\gamma =1-\alpha \\\left.\alpha +(1-\gamma )u\right|_{u=u_{m}}=0\;\rightarrow &\;\;\gamma =1-\alpha ^{2}\\u_{m}=1\;\rightarrow &\;\;\gamma _{1,2}={\frac {1}{8}}(1+\alpha )\left(7-\alpha \pm {\sqrt {(7-\alpha )^{2}-48}}\right)\\u_{m}=-1\;\rightarrow &\;\;\gamma ={\frac {1}{8}}(1-\alpha )\left(7+\alpha +{\sqrt {(7+\alpha )^{2}-48}}\right)\\J_{R-1}=J_{R1}\;\rightarrow &\;\;\gamma ={\frac {(1-\alpha ^{2})(1+3\alpha ^{2})}{1+6\alpha ^{2}+\alpha ^{4}}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die ersten drei Bedingungen beranden Gebiete, in denen die Präzessionsgeschwindigkeit über alle Grenzen wachsen kann und reguläre Präzessionen nicht mit jeder Neigung möglich sind (Ib, IIb). Die beiden folgenden Bedingungen beranden Gebiete, in denen JR(u) im physikalisch erreichbaren Bereich ein lokales Minimum JRm = JR(um) aufweist, der Kreisel also zu einem gegebenen ❘J❘ ∈ [ JRm: min(JR-1, JR1)] reguläre Präzessionen mit zwei verschiedenen Neigungswinkeln ausführen kann. Die sechste und letzte Bedingung trennt die Bereiche ④ und ⑤, in denen es an einer Stelle uk ∈ ]-1: 1[  eine reguläre Präzession mit ❘J❘ = JR-1 oder ❘J❘ = JR1 gibt:

<ul><li>Im Bereich ④ ist JR-1 > JR1, JR(u) im Intervall [-1: uk[  monoton fallend und gibt es zu jedem ❘J❘ ∈ ]JRm: JR1] zwei reguläre Präzessionen mit u1,2 ∈ [uk: 1].</li>

<li>Im Bereich ⑤ ist andererseits JR-1 < JR1, gibt es zu jedem ❘J❘ ∈ ]JRm: JR-1] zwei reguläre Präzessionen mit u1,2 ∈ [-1: uk] und ist JR(u) im Intervall ]uk: 1]  monoton steigend.</li></ul>

</td></tr></tbody></table>

Die Spielkreisel lassen sich durch ihre Parameter α = s/ρ und γ = A/C acht Bereichen zuordnen, in denen sie gleiches Stabilitätsverhalten aufweisen, siehe Abb. 6. Die acht Bereiche lassen sich wiederum in vier Fälle Ia/b, IIa/b gruppieren.<a href="#cite_note-35">[35]</a>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Kreiseltyp_I:_1_-_α²_≤_γ">Kreiseltyp I: 1 - α² ≤ γ</h4></div>

Die Funktion JR(u) für die <a href="#Reguläre_Präzession">#Reguläre Präzession</a> ist, wo sie im physikalisch erreichbaren Bereich reell ist, monoton und es gibt zu jedem J höchstens eine reguläre Präzession, die dann auch stabil ist (●).

Die Drehung um die hängende lotrechte Figurenachse mit u = -1 ist stabil, wenn ❘J❘ < JR-1 (▲) und instabil, wenn ❘J❘ ≥ JR-1 (△).

<div class="mw-heading mw-heading5"><h5 id="Kreiseltyp_Ia:_1_-_α²_≤_γ_<_1_+_α">Kreiseltyp Ia: 1 - α² ≤ γ < 1 + α</h5></div>

Reguläre Präzessionen sind im gesamten Intervall -1 < u < 1 möglich und stabil (●).

Rotationen um die vertikale aufrechte Figurenachse mit u = 1 ist stabil, wenn ❘J❘ > JR1 (▼) und instabil, wenn ❘J❘ ≤ JR1 (▽).

<div class="mw-heading mw-heading5"><h5 id="Kreiseltyp_Ib:_1_+_α_≤_γ">Kreiseltyp Ib: 1 + α ≤ γ</h5></div>

Reguläre Präzessionen sind nur im Intervall -1 < u < <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\gamma -1}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\gamma -1}}}</annotation>

</semantics>

Die Drehung um die vertikale aufrechte Figurenachse mit u = 1 ist instabil (▽).

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Kreiseltyp_II:_γ_≤_1_-_α²">Kreiseltyp II: γ ≤ 1 - α²</h4></div>

Wegen γ > ½ ist bei diesen Kreiseln α < 1/√2 ≈ 0,7.

In den Zonen ③, ⑥ und ⑧ ist die Funktion JR(u), wo sie im physikalisch erreichbaren Bereich reell ist, monoton, wohingegen in den anderen Gebieten, ④, ⑤ und ⑦, ein lokales Minimum JRm = JR(um) auftritt.

Die Rotation mit lotrecht stehender Figurenachse (u = 1) ist stabil, wenn ❘J❘ > JR1 (▼), und sonst instabil (▽).

<div class="mw-heading mw-heading5"><h5 id="Kreiseltyp_IIa:_1_-_α_<_γ_≤_1_-_α²">Kreiseltyp IIa: 1 - α < γ ≤ 1 - α²</h5></div>

Der Kreisel kann mit jeder Neigung u ∈ [-1: 1] eine reguläre Präzession ausführen, denn die Funktion JR(u) ist im ganzen Intervall definiert.

<ul><li>In ③ ist um > 1 > u und die zugehörige reguläre Präzession instabil (○).</li>

<li>In ④ und ⑤ gibt es ein Minimum JRm bei um ∈ [-1: 1]. Die regulären Präzessionen mit u < um sind instabil (○) und die anderen stabil (●). Zu jedem ❘J❘ ∈ ] JRm: min(JR-1, JR1)] gibt es zwei reguläre Präzessionen mit unterschiedlicher Neigung, wobei die schwächer geneigte dementsprechend stabil (●) und die stärker geneigte instabil ist (○).</li>

Die Rotation mit lotrecht hängender Figurenachse (u = -1) ist stabil, wenn ❘J❘ < JR-1 (▲), und sonst instabil (△).

<div class="mw-heading mw-heading5"><h5 id="Kreiseltyp_IIb:_½_<_γ_≤_1_-_α">Kreiseltyp IIb: ½ < γ ≤ 1 - α</h5></div>

Reguläre Präzessionen können nur im Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{\tfrac {\alpha }{1-\gamma }}<u<1}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\tfrac {\alpha }{1-\gamma }}<u<1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05d2f431088b59cac32d2cdb05e27c0a29364a37.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:14.326ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle -{\tfrac {\alpha }{1-\gamma }}<u<1}" loading="lazy"> und mit betraglich beliebig großem J auftreten. Im Gebiet ⑧ ist um > 1 und es gibt zu jedem ❘J❘ > JR1 genau eine reguläre Präzession und die ist instabil (○). In der Zone ⑦ fällt JR(u) aus dem Unendlichen kommend auf das Minimum JRm ab, um anschließend nach JR1 anzusteigen. Im abfallenden Ast ]∞: JR1] gibt es zu jedem J eine reguläre Präzession und die ist instabil (○). Zwischen JRm und JR1 gibt es zu jedem J zwei reguläre Präzessionen, von denen die weniger geneigte stabil (●) und die andere instabil ist (○).

Der lotrecht hängende Kreisel ist stabil (▲).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Stehaufkreisel" title="Stehaufkreisel">Stehaufkreisel</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Spielkreisel" class="extiw external" title="wikt:Spielkreisel">Wiktionary: Spielkreisel</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Spinning_tops?uselang=de">Commons: Spielkreisel</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Magnus (1971), S. 266, Grammel (1920), S. 111 und 123, siehe Literatur.

</li>

<li id="cite_note-rauch352-2">↑ <a href="#cite_ref-rauch352_2-0">a</a> <a href="#cite_ref-rauch352_2-1">b</a> Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 352.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Magnus (1971), S. 266.

</li>

<li id="cite_note-grammel111-4"><a href="#cite_ref-grammel111_4-0">↑</a> Grammel (1920), S. 111.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <a href="Felix_Klein_(Mathematiker)" title="Felix Klein (Mathematiker)">Felix Klein</a>, Conr. Müller: <cite style="font-style:italic">Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen</cite>. Mechanik. Hrsg.: <a href="Akademie_der_Wissenschaften_zu_G%C3%B6ttingen" class="mw-redirect" title="Akademie der Wissenschaften zu Göttingen">Akademien der Wissenschaften zu Göttingen</a>, Leipzig, München und Wien. Vierter Band, 1. Teilband. B. G. Teubner, 1908, ISBN 978-3-663-16021-2, S. 546, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-663-16021-2">10.1007/978-3-663-16021-2</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=j1aVBwAAQBAJ&pg=PA449#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche [abgerufen am 24. Januar 2020] siehe auch <a href="https://de.wikisource.org/wiki/Encyklop%C3%A4die_der_mathematischen_Wissenschaften" class="extiw external" title="s:Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften">wikisource</a>}).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Spielkreisel&rft.au=Felix+Klein%2C+Conr.+M%C3%BCller&rft.btitle=Encyklop%C3%A4die+der+Mathematischen+Wissenschaften+mit+Einschluss+ihrer+Anwendungen&rft.date=1908&rft.doi=10.1007%2F978-3-663-16021-2&rft.genre=book&rft.isbn=9783663160212&rft.pages=546&rft.pub=B.+G.+Teubner&rft.volume=Vierter+Band%2C+1.+Teilband" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> <a href="Clifford_Truesdell" title="Clifford Truesdell">Clifford Truesdell</a>: <cite style="font-style:italic">Die Entwicklung des Drallsatzes</cite>. In: <a href="Gesellschaft_f%C3%BCr_Angewandte_Mathematik_und_Mechanik" title="Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik">Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik</a> (Hrsg.): <cite style="font-style:italic"><a href="Zeitschrift_f%C3%BCr_Angewandte_Mathematik_und_Mechanik" title="Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik">Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik</a></cite> (= <cite style="font-style:italic">Heft 4/5</cite>). Band 44, April 1964, S. 154, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1002/zamm.19640440402">10.1002/zamm.19640440402</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/zamm.19640440402">wiley.com</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Spielkreisel&rft.atitle=Die+Entwicklung+des+Drallsatzes&rft.au=Clifford+Truesdell&rft.btitle=Zeitschrift+f%C3%BCr+Angewandte+Mathematik+und+Mechanik&rft.date=1964-04&rft.doi=10.1002%2Fzamm.19640440402&rft.genre=book&rft.pages=154&rft.series=Heft+4%2F5&rft.volume=44" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> <a href="Joseph-Louis_Lagrange" title="Joseph-Louis Lagrange">Joseph-Louis Lagrange</a>: <cite class="lang" lang="fr" dir="auto" style="font-style:italic">Mécanique Analytique</cite>. Tome Second. Corucier, Paris 1815, S. 265 f. (französisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/mcaniqueanalyti05lagrgoog">archive.org</a> [abgerufen am 20. August 2017]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Spielkreisel&rft.au=Joseph-Louis+Lagrange&rft.btitle=M%C3%A9canique+Analytique&rft.date=1815&rft.genre=book&rft.pages=265f&rft.place=Paris&rft.pub=Corucier&rft.volume=Tome+Second" style="display:none">  oder Joseph-Louis Lagrange: <cite style="font-style:italic">Analytische Mechanik</cite>. Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen 1797 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/analytischemech00murhgoog">archive.org</a> [abgerufen am 20. August 2017] Deutsche Übersetzung von Friedrich Murhard).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Spielkreisel&rft.au=Joseph-Louis+Lagrange&rft.btitle=Analytische+Mechanik&rft.date=1797&rft.genre=book&rft.place=G%C3%B6ttingen&rft.pub=Vandenhoeck+und+Ruprecht" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-magnus266-8"><a href="#cite_ref-magnus266_8-0">↑</a> Magnus (1971), S. 266.

</li>

<li id="cite_note-jellett-9">↑ <a href="#cite_ref-jellett_9-0">a</a> <a href="#cite_ref-jellett_9-1">b</a> <a href="#cite_ref-jellett_9-2">c</a> <a href="John_Hewitt_Jellett" title="John Hewitt Jellett">J. H. Jellett</a>: <cite style="font-style:italic">A treatise on the theory of friction</cite>. <a href="Macmillan_Publishers" title="Macmillan Publishers">Macmillan Publishers</a>, London 1872, S. 185 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/treatiseontheory00jellrich">archive.org</a> [abgerufen am 15. Dezember 2018]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Spielkreisel&rft.au=J.+H.+Jellett&rft.btitle=A+treatise+on+the+theory+of+friction&rft.date=1872&rft.genre=book&rft.pages=185&rft.place=London&rft.pub=Macmillan+Publishers" style="display:none">  In der Kreiseltheorie werden <a href="Integral_der_Bewegung" title="Integral der Bewegung">Konstanten der Bewegung</a> als Integral bezeichnet, weil ihre <a href="Zeitableitung" title="Zeitableitung">Zeitableitung</a> verschwindet und somit umgekehrt das Zeitintegral eine Konstante liefert.

</li>

<li id="cite_note-10"><a href="#cite_ref-10">↑</a> siehe Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 333 und die Literaturangaben dort.

</li>

<li id="cite_note-Rauch-11"><a href="#cite_ref-Rauch_11-0">↑</a> siehe Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005)

</li>

<li id="cite_note-12"><a href="#cite_ref-12">↑</a> <a href="Edward_Routh" title="Edward Routh">Edward Routh</a>: <cite style="font-style:italic">A TREATISE ON THE STABILITY OF A GIVEN STATE OF MOTION</cite>. PARTICULARLY STEADY MOTION. <a href="Macmillan_Publishers" title="Macmillan Publishers">Macmillan Publishers</a>, London 1877 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/atreatiseonstab00routgoog">archive.org</a> – Dieses Essay wurde 1877 an der <a href="Cambridge_University" class="mw-redirect" title="Cambridge University">Cambridge University</a> mit dem <a href="Adams-Preis" title="Adams-Preis">Adams-Preis</a> ausgezeichnet.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Spielkreisel&rft.au=Edward+Routh&rft.btitle=A+TREATISE+ON+THE+STABILITY+OF+A+GIVEN+STATE+OF+MOTION&rft.date=1877&rft.genre=book&rft.place=London&rft.pub=Macmillan+Publishers" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-13"><a href="#cite_ref-13">↑</a> Magnus (1971), S. 271+273, Kuypers und Ucke (1994), S. 215.

</li>

<li id="cite_note-14"><a href="#cite_ref-14">↑</a> Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 361.

</li>

<li id="cite_note-15"><a href="#cite_ref-15">↑</a> Kuypers und Ucke (1994), S. 215.

</li>

<li id="cite_note-grammel113-16">↑ <a href="#cite_ref-grammel113_16-0">a</a> <a href="#cite_ref-grammel113_16-1">b</a> Grammel (1920), S. 113.

</li>

<li id="cite_note-rauch339-17">↑ <a href="#cite_ref-rauch339_17-0">a</a> <a href="#cite_ref-rauch339_17-1">b</a> Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 339.

</li>

<li id="cite_note-grammel116-18">↑ <a href="#cite_ref-grammel116_18-0">a</a> <a href="#cite_ref-grammel116_18-1">b</a> <a href="#cite_ref-grammel116_18-2">c</a> Grammel (1920), S. 116.

</li>

<li id="cite_note-19"><a href="#cite_ref-19">↑</a> Magnus (1971), S. 267, Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 336 oder Ciocci und Langerock (2007).

</li>

<li id="cite_note-rauch337-20">↑ <a href="#cite_ref-rauch337_20-0">a</a> <a href="#cite_ref-rauch337_20-1">b</a> Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 337.

</li>

<li id="cite_note-21"><a href="#cite_ref-21">↑</a> Kuypers und Ucke (1994), S. 214.

</li>

<li id="cite_note-22"><a href="#cite_ref-22">↑</a> Grammel (1920), S. 124 ff.

</li>

<li id="cite_note-23"><a href="#cite_ref-23">↑</a> Grammel (1920), S. 125 f.

</li>

<li id="cite_note-24"><a href="#cite_ref-24">↑</a> Grammel (1920), S. 127.

</li>

<li id="cite_note-Ciocci&Langerock-25"><a href="#cite_ref-Ciocci&Langerock_25-0">↑</a> M. C. Ciocci, B. Langerock: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Dynamics of the Tippe Top via Routhian Reduction</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Regular and Chaotic Dynamics</cite>. Band 12, Nr. 6. Springer Nature, 2007, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%221468-4845%22&key=cql">1468-4845</a>, S. 602–614, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1134/S1560354707060032">10.1134/S1560354707060032</a>, <a href="ArXiv" title="ArXiv">arxiv</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://arxiv.org/abs/0704.1221">0704.1221</a> (englisch, Die Euler-Winkel φ und ψ haben vertauschte Bedeutungen.).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Spielkreisel&rft.atitle=Dynamics+of+the+Tippe+Top+via+Routhian+Reduction&rft.au=M.+C.+Ciocci%2C+B.+Langerock&rft.date=2007&rft.doi=10.1134%2FS1560354707060032&rft.genre=journal&rft.issn=1468-4845&rft.issue=6&rft.jtitle=Regular+and+Chaotic+Dynamics&rft.pages=602-614&rft.pub=Springer+Nature&rft.volume=12" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-26"><a href="#cite_ref-26">↑</a> Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 336.

</li>

<li id="cite_note-27"><a href="#cite_ref-27">↑</a> Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 335.

</li>

<li id="cite_note-28"><a href="#cite_ref-28">↑</a> Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 338.

</li>

<li id="cite_note-29"><a href="#cite_ref-29">↑</a> <a href="Edward_Routh" title="Edward Routh">Edward Routh</a>: <cite style="font-style:italic">Die Dynamik der Systeme starrer Körper</cite>. Die Höhere Dynamik. zweiter Band. B. G. Teubner, Leipzig 1898, S. 192 (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/diedynamikdersy01routgoog">archive.org</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Spielkreisel&rft.au=Edward+Routh&rft.btitle=Die+Dynamik+der+Systeme+starrer+K%C3%B6rper&rft.date=1898&rft.genre=book&rft.pages=192&rft.place=Leipzig&rft.pub=B.+G.+Teubner&rft.volume=zweiter+Band" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-rauch340-30">↑ <a href="#cite_ref-rauch340_30-0">a</a> <a href="#cite_ref-rauch340_30-1">b</a> Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 340.

</li>

<li id="cite_note-31"><a href="#cite_ref-31">↑</a> Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 343.

</li>

<li id="cite_note-32"><a href="#cite_ref-32">↑</a> Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 347.

</li>

<li id="cite_note-rauch353-33">↑ <a href="#cite_ref-rauch353_33-0">a</a> <a href="#cite_ref-rauch353_33-1">b</a> Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 353 ff. Dort ist cos(ϑ) = -u.

</li>

<li id="cite_note-34"><a href="#cite_ref-34">↑</a> Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 356. Dort ist η3=-u, λ=J und β=Jβ. Die Formelzeichen sind im Abschnitt <a href="#Reguläre_Präzession">#Reguläre Präzession</a> definiert.

</li>

<li id="cite_note-35"><a href="#cite_ref-35">↑</a> Rauch-Wojciechowski, Sköldstam und Glad (2005), S. 358 ff. Dort ist η3=-u, λ=J und β=Jβ.

</li>

</ol></div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li><a href="Kurt_Magnus_(Ingenieur)" title="Kurt Magnus (Ingenieur)">K. Magnus</a>: <cite style="font-style:italic">Kreisel: Theorie und Anwendungen</cite>. Springer, 1971, ISBN 978-3-642-52163-8, S. 266 ff. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=tATNBgAAQBAJ&pg=PA266#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche [abgerufen am 20. Februar 2018]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Spielkreisel&rft.au=K.+Magnus&rft.btitle=Kreisel%3A+Theorie+und+Anwendungen&rft.date=1971&rft.genre=book&rft.isbn=9783642521638&rft.pages=266ff.&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li><a href="Richard_Grammel" title="Richard Grammel">R. Grammel</a>: <cite style="font-style:italic">Der Kreisel</cite>. Seine Theorie und seine Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1920, <a href="Deutsche_Nationalbibliothek" title="Deutsche Nationalbibliothek">DNB</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://portal.dnb.de/opac.htm?referrer=Wikipedia&method=simpleSearch&cqlMode=true&query=idn%3D451641280">451641280</a>, S. 111 ff. und 123 ff. (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://archive.org/details/derkreiselseine00gramgoog">archive.org</a> – „Schwung“ bedeutet Drehimpuls, „<a href="Drehsto%C3%9F" title="Drehstoß">Drehstoß</a>“ etwa Drehmoment und „Drehwucht“ Rotationsenergie, siehe S. VII).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Spielkreisel&rft.au=R.+Grammel&rft.btitle=Der+Kreisel&rft.date=1920&rft.genre=book&rft.pages=111ff.+und+123ff.&rft.place=Braunschweig&rft.pub=Vieweg+Verlag" style="display:none"> </li>

<li><a href="Richard_Grammel" title="Richard Grammel">R. Grammel</a>: <cite style="font-style:italic">Der Kreisel</cite>. Seine Theorie und seine Anwendungen. 2. überarb. Auflage. Band 1. Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1950, S. 51, 69, 79.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Spielkreisel&rft.au=R.+Grammel&rft.btitle=Der+Kreisel&rft.date=1950&rft.edition=2.+%C3%BCberarb.+Aufl.&rft.genre=book&rft.pages=51%2C+69%2C+79&rft.place=Berlin%2C+G%C3%B6ttingen%2C+Heidelberg&rft.pub=Springer&rft.volume=Band+1" style="display:none"> </li>

<li>S. Rauch-Wojciechowski, M. Sköldstam, T. Glad: <cite style="font-style:italic">Mathematical analysis of the tippe top</cite>. In: <cite style="font-style:italic">Regular and Chaotic Dynamics</cite>. Band 10, Nr. 4. Springer Nature, 2005, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%221468-4845%22&key=cql">1468-4845</a>, S. 333–362, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1070/RD2005v010n04ABEH000319">10.1070/RD2005v010n04ABEH000319</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.turpion.org/php/full/infoFT.phtml?journal_id=rd&paper_id=319&year_id=2005&volume_id=10&issue_id=4&fpage=333">turpion.org</a> [abgerufen am 15. Dezember 2018]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Spielkreisel&rft.atitle=Mathematical+analysis+of+the+tippe+top&rft.au=S.+Rauch-Wojciechowski%2C+M.+Sk%C3%B6ldstam%2C+T.+Glad&rft.date=2005&rft.doi=10.1070%2FRD2005v010n04ABEH000319&rft.genre=journal&rft.issn=1468-4845&rft.issue=4&rft.jtitle=Regular+and+Chaotic+Dynamics&rft.pages=333-362&rft.pub=Springer+Nature&rft.volume=10" style="display:none"> </li>

<li>Friedhelm Kuypers, Christian Ucke: <cite style="font-style:italic">Steh' auf Kreisel!</cite> In: <cite style="font-style:italic"><a href="Physik_in_unserer_Zeit" title="Physik in unserer Zeit">Physik in unserer Zeit</a></cite>. Band 25, Nr. 5. <a href="John_Wiley_%26_Sons" title="John Wiley & Sons">Wiley Online Library</a>, 1994, <a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%220031-9252%22&key=cql">0031-9252</a>, S. 214–215, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1002/piuz.19940250503">10.1002/piuz.19940250503</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/piuz.19940250503">wiley.com</a> [abgerufen am 22. Februar 2019]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Spielkreisel&rft.atitle=Steh%27+auf+Kreisel%21&rft.au=Friedhelm+Kuypers%2C+Christian+Ucke&rft.date=1994&rft.doi=10.1002%2Fpiuz.19940250503&rft.genre=journal&rft.issn=0031-9252&rft.issue=5&rft.jtitle=Physik+in+unserer+Zeit&rft.pages=214-215&rft.pub=Wiley+Online+Library&rft.volume=25" style="display:none"> </li></ul>

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Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4207445-9">4207445-9</a> </div>

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